Die Abbildung $z\mapsto P_z$ ist eine differenzierbare Abbildung von $\Re z > 0$ in $L(H^s(\R^n))$.
Seien $\Re z,\Re w > \d$, dann folgt nach der Taylor-Formel:
$$
|e^{-w\norm y^2}-e^{-z\norm y^2}+(w-z)\norm y^2e^{-z\norm y^2}|
\leq\frac12|w-z|^2\norm y^4e^{-\d\norm y^2}
\leq\frac{|w-z|^2}{2e\d}
$$
und damit für alle $f\in H^s(\R^n)$:
$$
\frac{\norm{P_wf-P_zf+(w-z)\D P_zf}_{H^s}^2}{|w-z|^2}
\leq\Big(\frac{|w-z|}{2e\d}\Big)^2\norm{f}_{H^s}^2,
$$
i.e.
$$
\norm{\frac{P_w-P_z+(w-z)\D P_z}{w-z}}_{H^s}
\leq\frac1{2e\d}|w-z|
$$