Seien $A < B$, $\O=\{z\in\C:A<\Re z < B\}$, $f:\O\rar X$ komplex differenzierbar und $M(x)\colon=\sup\{|f(z)|:\Re z=x\}$. Dann ist $\log M:[A,B]\rar\R$ konvex.
Seien $a,b\in[A,B]$, $a < b$ und $F:S\rar\O$ die Abbildung $z\mapsto(1-z)a+zb$, dann gilt nach dem 3-Linien-Satz für alle $s\in[0,1]$ und alle $t\in\R$: $|f(F(s+it))|\leq M(a)^{1-s}M(b)^s$, i.e. für alle $t\in\R$:
$$
|f((1-s)a+sb+it)|\leq M(a)^{1-s}M(b)^s
$$
also folgt:
$$
\log M((1-s)a+sb)\leq(1-s)\log M(a)+s\log M(b)~.
$$
Dies bedeutet aber: $\log M$ ist konvex!