1. Für alle $x\in X$ und alle $w\in S_{\pi/2-\a}$:
$$
\int_{\pa\O_\theta}z^{-1}e^{-wz}\,dz=1
\quad\mbox{und}\quad
\int_{\pa\O_\theta}z^{-1}U_zx\,dz=0~.
$$
3. Für alle $\b\in[0,\pi/2-\a)$, alle $x\in X$ und alle $w\in S_\b$:
$$
\lim_{w\to0}\Vert P_wx-x\Vert=0~.
$$
$P_w$ ist also eine stetige Halbgruppe.
1. Sei $\g_n$ jener Teil von $\pa\O_\theta$, der von $ne^{i\theta}$ nach $ne^{-i\theta}$ reicht. Das Integral über den Kreisbogen $c_n$ von $ne^{-i\theta}$ nach $ne^{i\theta}$ konvergiert mit $n\to\infty$ gegen $0$. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt daher:
$$
\frac1{2\pi i}\int_{\pa\O_\theta}z^{-1}e^{-wz}\,dz
=\frac1{2\pi i}\lim_n\int_{c_n\g_n}z^{-1}e^{-wz}\,dz
-\frac1{2\pi i}\lim_n\int_{c_n}z^{-1}e^{-wz}\,dz
=\lim_n\ind(0,c_n\g_n)e^0
=1~.
$$
2. In diesem Fall wählen wir für $c_n$ den gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisbogen von $ne^{i\theta}$ nach $ne^{-i\theta}$. Dann ist die Kurve $c_n\g_n$ in $\O_\a^c$ konturhomotop zu einer konstanten Kurve und folglich gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz
$$
0=\int_{c_n\g_n}z^{-1}U_zx\,dz
$$
Da mit $n\to\infty$
$$
\norm{\int_{c_n}z^{-1}U_zx\,dz}
\leq2\pi n\frac{C_\theta}{n^2}\to0
\quad\mbox{folgt:}\quad
\lim_n\int_{\g_n}z^{-1}U_zx\,dz=0~.
$$
3. Sei $x\in\dom(A)$, dann folgt nach 1. und 2.:
\begin{eqnarray*}
P_wx-x
&=&\frac1{2\pi i}\int_\g e^{-wz}U_zx-e^{-wz}z^{-1}x\,dz\\
&=&\frac1{2\pi i}\int_\g e^{-wz}z^{-1}U_zAx\,dz
=\frac1{2\pi i}\int_\g(e^{-wz}-1)z^{-1}U_zAx\,dz
\end{eqnarray*}
Da für alle $z\in\O_\theta$: $\Vert z^{-1}U_zAx\Vert\leq C_\theta|z|^{-2}\norm{Ax}$, folgt nach dem Satz von der dominierte Konvergenz:
$$
\forall x\in\dom A:\quad
\lim_{w\to0}\Vert P_wx-x\Vert=0
$$
Die Dichtheit von $\dom A$ sowie die Beschränktheit der Halbgruppe implizieren dann, daß diese Beziehung für alle $x\in X$ gilt.