1. Nach dem Beweis zu Proposition gilt für
$$
F(r)\colon=\pa_r\int_{S^{n-1}}f(x+r\z)\,\s(d\z):\quad
F^\prime(r)=-\frac{r}{\vol{}(S^{n-1})}\int_{B_1(0)}\D f(x+ry)\,dy~.
$$
Ist $f$ subharmonisch, so folgt: $\lim_{r\dar0}F^\prime(r)\geq0$, also
$$
0\geq\lim_{r\dar0}\int_{B_1(0)}\D f(x+ry)\,dy=\D f(x)~.
$$
Umgekehrt folgt aus $\D f\leq0$, daß $F$ monoton steigend ist, also $F(0)\leq F(r)$ und dies bedeutet:
$$
f(x)\leq\int_{S^{n-1}}f(x+r\z)\,\s(d\z)
$$
i.e. $f$ ist subharmonisch.
2. Für konvexe Funktionen $f$ gilt für alle $\z\in S^{n-1}$ mit $\cl{B_r(x)}\sbe\O$:
$$
f(x)\leq\frac12(f(x+r\z)+f(x-r\z))
$$
und nach Integration über $\z$:
$$
f(x)\leq\frac12\int_{S^{n-1}}f(x+r\z)\,\s(d\z)
+\frac12\int_{S^{n-1}}f(x-r\z)\,\s(d\z)
=\int_{S^{n-1}}f(x+r\z)\,\s(d\z)~.
$$