Exam

Eine stetige Funktion

f : Ω \to R

auf einem Gebiet

Ω \subseteq R^{n}

heißt subharmonisch, wenn für alle

x \in Ω

r > 0

\overset{―}{B_{r} (x)} \subseteq Ω

f (x) \leq \int_{S^{n - 1}} f (x + r ζ) σ (d ζ)

Zeigen Sie: ist

f

zweimal stetig differenzierbar, so ist

f

genau dann subharmonisch, wenn

Δ f \leq 0

. 2. Konvexe Funktionen sind subharmonisch.

1. Nach dem Beweis zu Proposition gilt für

F (r) : = \partial_{r} \int_{S^{n - 1}} f (x + r ζ) σ (d ζ) : F^{'} (r) = - \frac{r}{{V o l}_{} (S^{n - 1})} \int_{B_{1} (0)} Δ f (x + r y) d y .

Ist

f

subharmonisch, so folgt:

lim_{r ↓ 0} F^{'} (r) \geq 0

, also

0 \geq lim_{r ↓ 0} \int_{B_{1} (0)} Δ f (x + r y) d y = Δ f (x) .

Umgekehrt folgt aus

Δ f \leq 0

, daß

F

monoton steigend ist, also

F (0) \leq F (r)

und dies bedeutet:

f (x) \leq \int_{S^{n - 1}} f (x + r ζ) σ (d ζ)

i.e.

f

ist subharmonisch.
2. Für konvexe Funktionen

f

gilt für alle

ζ \in S^{n - 1}

mit

\overset{―}{B_{r} (x)} \subseteq Ω

:

f (x) \leq \frac{1}{2} (f (x + r ζ) + f (x - r ζ))

und nach Integration über

ζ

:

f (x) \leq \frac{1}{2} \int_{S^{n - 1}} f (x + r ζ) σ (d ζ) + \frac{1}{2} \int_{S^{n - 1}} f (x - r ζ) σ (d ζ) = \int_{S^{n - 1}} f (x + r ζ) σ (d ζ) .