Sei $m\in\N_0$; zeigen Sie, daß die Fourier-Transformierte $\wh f_m$ der Funktion
$f_m(x)=(1+x^2)^{-m}$ gegeben ist durch
$$
\forall y > 0:\qquad
\wh f_m(y)=\frac{i\sqrt{2\pi}}{(m-1)!}
\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big|_{z=-i}\frac{e^{-iyz}}{(z-i)^{m}}
$$
Für $y > 0$ ist nach Beispiel und Beispiel:
$$
\int_\R f_m(x)e^{-ixy}\,dx
=-2\pi i\Res(-i,f_m(z)e^{-iyz})
=-2\pi i\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big|_{z=i}\frac{e^{-iyz}}{(z-i)^{m}}/(m-1)!
$$