Sei $a > 1/2$, dann ist die Fourier-Transformierte $\wh f_a$ der Funktion $f_a(x)=(1+x^2)^{-a}$ gegeben durch: $$ \wh f_a(y)=\frac{K(1,1/2-a,y)}{\sqrt2\G(a)} $$ Wobei $K(\l,\nu,y)$ die in Beispiel definierte Funktion bezeichnet. Insbesondere: $$ \forall r > 0:\quad K(1,1/2-m,r) =-2i\sqrt{\pi}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\Big|_{z=-i}\frac{e^{-iyz}}{(z-i)^{m}}. $$
Nach Beispiel ist $$ z^{-a}=\frac{1}{\G(a)}\int_0^\infty t^{a-1}e^{-zt}\,dt $$ also erhalten wir nach Fubini: $$ \int_\R(1+x^2)^{-a}e^{-ixy}\,dx =\frac{1}{\G(a)}\int_0^\infty t^{a-1}e^{-t}\int_\R e^{-x^2t}e^{-ixy}\,dx\,dt $$ Das Integral über $\R$ ist gleich $(\pi/t)^{1/2}e^{-y^2/4t}$ und damit: $$ \int_\R(1+x^2)^{-a}e^{-ixy}\,dx =\frac{\sqrt\pi}{\G(a)}\int_0^\infty t^{a-3/2}e^{-(t+y^2/4t)}\,dt =\frac{\sqrt\pi K(1,1/2-a,y)}{\G(a)}~. $$