Sei $f:U\rar\C$ in einer Umgebung $U$ von $\cl D$ differenzierbar, so
daß für alle $z\in\pa D$: $|f(z)-z| < 1$. Zeigen Sie: $|f^\prime(1/2)|\leq8$
und $f$ besitzt auf $D$ genau eine Nullstelle.
Da für alle $z\in\pa D$: $|f(z)-z|<1$, folgt nach dem Satz von Rouché, daß $f$ auf $D$ genau eine Nullstelle besitzt. Es gilt ferner nach der Cauchyschen Integralformel:
$$
2\pi|f^\prime(1/2)|\leq4\int_0^{2\pi}|f(e^{it})|\,dt\leq16\pi~.
$$