Sei $g:\cl D\rar\C$ stetig und auf $D$ komplex differenzierbar, so daß
für alle $z\in\pa D$: $|g(z)|<1$. Zeigen
Sie: ist $f(z)\colon=z+g(z)$, so ist $f(D)$ eine Umgebung von $0$.
2. Ist $g$ in einer Umgebung von $\cl D$ stetig reell differenzierbar
und $c(t)=g(e^{it})$, so gilt: $\ind(0,c)=1$.
Auf $S^1$ gilt: $|f(z)-z|=|g(z)| < |z|$, also folgt nach dem Satz von Rouché, daß $f$ auf $D$ genau eine Nullstelle besitzt. Da $f(D)$ offen ist, ist $0$ ein innerer Punkt von $f(D)$.
2. Wegen $|c(t)/e^{it}-1| < 1$ also $k(t)\colon=c(t)/e^{it}\in B_1(1)$ folgt:
\begin{eqnarray*}
0&=&\int_k\frac1z\,dz
=\int\frac{e^{it}}{c(t)}(c^\prime(t)e^{-it}-ic(t)e^{-it})\,dt\\
&=&\int\frac1{c(t)}c^\prime(t)-ic(t)
=\int_c\frac1z\,dz-2\pi i
\end{eqnarray*}