Auf $D$ ist durch $d(z,w)\colon=|z-w|/|1-\bar z w|$ eine Metrik definiert und jeder Automorphismus $\vp\in\Aut(D)$ ist eine Isometrie bezüglich der Metrik $d$.
Die Dreiecksungleichung ist gleichbedeutend mit:
$|\vp_z(w)|-|\vp_z(u)|\leq|\vp_u(w)|$. Nach dem Lemma von Schwarz-Pick ist aber $|\vp_z(w)-\vp_z(u)|=|\vp_u(w)|$.