Sei $f:\O\rar\C$ stetig reell differenzierbar. Definieren wir $f^*(dz)u\colon=dz(D^\R f(z)u)$ und $f^*(d\bar z)u\colon=d\bar z(D^\R f(z)u)$, so gilt:
$$
f^*(dz)=\pa_zf\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z
\quad\mbox{und}\quad
f^*(d\bar z)=\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z+\pa_z\bar f\,dz~.
$$
2. Ferner gilt: $f^*(dz\otimes d\bar z)=f^*(dz)\otimes f^*(d\bar z)$ und $f^*(d\bar z\otimes dz)=f^*(d\bar z)\otimes f^*(dz)$; folgern Sie:
\begin{eqnarray*}
f^*\can&=&(|\pa_zf|^2+|\pa_{\bar z}f|^2)\,\can
+\pa_zf\pa_z\bar f\,dz\otimes dz
+\pa_{\bar z}f\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z\otimes d\bar z\\
f^*\o^2&=&(|\pa_zf|^2-|\pa_{\bar z}f|^2)\,\o^2~.
\end{eqnarray*}
3. Eine stetig reell differenzierbare Abbildung $f:\O\rar\C$ ist genau dann winkeltreu (bzw. flächentreu), wenn $\pa_zf\pa_{\bar z}f=0$ (bzw. $||\pa_zf|^2-|\pa_{\bar z}f|^2|=1$).
1. folgt aus Proposition.
2. folgt aus 1. sowie der Definition des pull back.
3. Nach 2. sowie der Definition der kanonischen euklidischen Metrik gilt:
\begin{eqnarray*}
2f^*\can
&=&(\pa_zf\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z)
\otimes(\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z+\pa_z\bar f\,dz)\\
&&+(\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z+\pa_z\bar f\,dz)
\otimes(\pa_zf\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z)\\
&=&2(|\pa_zf|^2+|\pa_{\bar z}f|^2)\,\can\\
&&+2\pa_zf\pa_z\bar f\,dz\otimes dz
+2\pa_{\bar z}f\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z\otimes d\bar z
\end{eqnarray*}
und analog:
\begin{eqnarray*}
2if^*\o^2
&=&-(\pa_zf\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z)
\otimes(\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z+\pa_z\bar f\,dz)\\
&&+(\pa_{\bar z}\bar f\,d\bar z+\pa_z\bar f\,dz)
\otimes(\pa_zf\,dz+\pa_{\bar z}f\,d\bar z)\\
&=&2i(|\pa_zf|^2-|\pa_{\bar z}f|^2)\,\o^2
\end{eqnarray*}