Sei $F:B_2^{2n}\rar B_2^{2n}$ ein komplexer Diffeomorphismus mit $F(0)=0$. Dann ist $F$ eine unitäre Transformation.
Nach ?? gilt für alle $z\in B_2^{2n}$: $\norm{F(z)}=\norm z$. Nach dem Lemma von Schwarz folgt dann aber für alle $\l\in D$ und alle $z\in B_2^{2n}$: $F(\l z)=\l F(z)$, also
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F(z)=F(nz/n)=\lim_{n\to\infty}n(F(z/n)-F(0))=DF(0)z
$$
i.e. $F$ ist linear.