Sei $f:\cl{S}\rar X$ stetig und beschränkt und auf $S$ komplex differenzierbar. Dann gilt für alle $0 < x < 1$:
$$
\norm{f(x)}
\leq\Big(\frac1{1-x}\int\norm{f(it)}P_S^0(x,t)\,dt\Big)^{1-x}
\Big(\frac1{x}\int\norm{f(1+it)}P_S^1(x,t)\,dt\Big)^{x}
$$
Die Ungleichung folgt wegen $\int P_S^0(x,t)\,dt=1-x$ und $\int P_S^1(x,t)\,dt=x$ aus der Jensen-Ungleichung und Proposition; die zweite Ungleichung folgt aus der ersten sowie der Mittelungleichung: $a^{1-x}b^x\leq(1-x)a+xb$.