$\proof$
Sei $f:D\rar D$ ein Automorphismus mit $f(0)=a$, dann ist
$g\colon=\vp_a\circ f$ ein Automorhismus von $D$ mit $g(0)=0$. Nach
dem Lemma von Schwarz folgt $|g^\prime(0)|\leq1$
und $1/|g^\prime(0)|=|g^{-1\prime}(0)|\leq1$, also: $g^\prime(0)=c\in S^1$.
Wiederum nach dem Lemma von Schwarz folgt: $g(z)=e^{i\a}z$.
$\eofproof$
$\proof$
Seien $w_j=f(z_j)$, dann ist $g\colon=\vp_{w_2}\circ f\circ\vp_{z_2}$
eine komplex differenzierbare Abbildung von $D$ in sich mit $g(0)=0$. Nach
dem Lemma von Schwarz folgt $|g(z_1)|\leq|z_1|$,
also: $|\vp_{w_2}\circ f(z_1)|\leq|\vp_{z_2}(z_1)|$.
Wiederum nach dem Lemma von Schwarz gilt Gleichheit dann und nur dann, wenn: $g(z)=cz$ mit $|c|=1$.
$\eofproof$
Automorphismen auf $D$ sind also u.A. Isometrien bezüglich der Metrik
$$
d(z,w)\colon=\frac{|z-w|}{|1-\bar wz|}
$$
auf $D$ (cf. Übungen).
$\proof$
Ist $\F\sbe A(\O)$ relativ kompakt, so gilt für alle $n\in\N$: $\sup\{\norm f_n:f\in M\} < \infty$, also ist $M$ lokal beschränkt. Ist umgekehrt $\F\sbe A(\O)$ lokal beschränkt, $K\sbe\O$ kompakt und $d(K,\O^c) > r$. Dann gilt für alle $f\in\F$ und alle $\z,x\in K$ mit $|\z-x| < r/2$ nach der Cauchyschen Integralformel:
$$
|f(\z)-f(x)|\leq C_Kr^{-2}|\z-x|~.
$$
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist daher $\{f|K:f\in\F\}$ eine relativ kompakte Teilmenge von $C(K)$ und somit ist $\F$ eine relativ kompakte Teilmenge von $A(\O)$.
$\eofproof$
$\proof$
1. Sei o.B.d.A. $0\notin\O$; da $\O$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine komplex differenzierbare Funktion $\Log:\O\rar\C$ mit $\exp\circ\Log=id$. Sei $\O^\prime=\Log(\O)$ und $w\in\O^\prime$, dann ist $w+2\pi i\notin\O^\prime$, denn $\exp$ ist $2\pi i$-periodisch. Da $\O^\prime$ nach Korollar offen ist, gibt es ein $r\in(0,\pi)$, so daß $B_r(w)\sbe\O^\prime$, also: $B_r(w+2\pi i)\cap\O^\prime=\emptyset$. Da $\O^\prime$ komplex diffeomorph zu $\O$ ist, können wir o.B.d.A. annehmen, daß $\cl\O\neq\C$.
Sei $B_r(a)\sbe\cl\O^c$, dann ist $\vp(z)=r/(z-a)$
ein komplexer Diffeomorphismus von $\O$ auf eine Teilmenge von $D$.
Somit können wir o.B.d.A. annehmmen, daß $\O$ selbst ein einfach
zusammenhängendes Gebiet in $D$ ist.
2. Sei also $\O\sbe D$ und $z_0\in\O$, dann definieren wir:
$$
\F\colon=\{f:\O\rar D:\mbox{ $f$ ist injektiv und $f(z_0)=0$}\}
$$
$\F$ ist nicht leer, denn $\vp_{z_0}\in\F$ und
nach dem Satz von Montel ist $\F$
eine relativ kompakte Teilmenge
von $A(\O)$. Sei $F\in A(\O)$, so daß
$|F^\prime(z_0)|=\sup\{|f^\prime(z_0)|:f\in\F\}$, dann ist $F$ nicht konstant
und nach Korollar injektiv; ferner ist
$F(\O)\sbe\cl D$ und nach
dem Maximumprinzip: $F(\O)\sbe D$, also $F\in\F$.
$F$ ist surjektiv: Angenommen $F$ ist nicht surjektiv, also $w\in D\sm F(\O)$;
sei $\vp_w:D\rar D$ der Automorphismus, der $w$ auf $0$ abbildet, dann ist
$\vp_w\circ F:\O\rar D$ nullstellenfrei und somit gibt es
eine komplex differenzierbare Funktion $g:\O\rar\C$, so daß
$\exp\circ g=\vp_w\circ F$. Definiere:
$G(z)\colon=\exp(g(z)/2)$, dann folgt: $G(z)^2=\vp_w\circ F(z)$;
setze wir also $a\colon=G(z_0)$ und $H\colon=\vp_a\circ G$, so folgt:
$a^2=w$, $H\in\F$ und aufgrund der Beziehung \eqref{rmteq2}:
$$
H^\prime(z_0)
=\vp_a^\prime(a)G^\prime(z_0)
=\frac{1}{|a|^2-1}
\frac12g^\prime(z_0)G(z_0)
$$
Nun ist $\exp(g(z_0))=\vp_w(0)=w$ und
$$
g^\prime(z_0)\exp(g(z_0))=\vp_w^\prime(0)F^\prime(z_0)
$$
also wiederum nach Beziehung \eqref{rmteq2}:
$g^\prime(z_0)=(|w|^2-1)F^\prime(z_0)/w$ und damit:
$$
H^\prime(z_0)
=\frac{a(|w|^2-1)}{2w(|a|^2-1)}
F^\prime(z_0)
$$
Da $|a|^2=|w|$, folgt:
$$
|H^\prime(z_0)|
=\frac{|w|+1}{2\sqrt{|w|}}
|F^\prime(z_0)|
\quad\mbox{i.e.}\quad
|H^\prime(z_0)|>|F^\prime(z_0)|~.
$$
3. Eindeutigkeit: Ist $g:\O\rar D$ ein weiterer komplexer Diffeomorphismus, so
ist $F\colon=f\circ g^{-1}$ ein Automorphismus von $D$ mit $F(0)=0$;
nach Proposition ist $F(z)=cz$ mit $|c|=1$, also
$f(z)=cg(z)$.
$\eofproof$Bemerkung:
Die Voraussetzung, daß $\O$ einfach zusammenhängend ist, benutzten
wir nur zur Konstruktion einer analytischen Wurzel einer nullstellenfreien
analytischen Funktion (nämlich $\vp_w\circ F$). Besitzt also jede
nullstellenfreie analytische Funktion auf $\O$ eine analytische
Wurzel, so gibt es einen komplexen Diffeomorphismus $F:\O\rar D$ mit $F(z_0)=0$.
Die Abbildung $z\mapsto(i-z)/(i+z)$ bildet die obere Halbenene
$H^+\colon=[\Im z > 0]$ bianalytisch auf $D$ ab.
Die Abbildung $z\mapsto e^{i\pi z}$ bildet den Streifen $[0 < \Re z < 1]$
bianalytisch auf die obere Halbebene ab.
Die Abbildung $z\mapsto z^2$ bildet den ersten Quadranten
$Q\colon=\{z\in\C:\Re z,\Im z > 0\}$ auf die obere Halbebene ab.
Die Abbildung $F:z\mapsto z+z^{-1}$ bildet das Gebiet
$\O\colon=\{z\in H^+:|z| > 1\}$ auf die obere Halbebene ab.
Der Riemannsche Abbildungssatz ist, wie viel Ergebnisse der
Funktionentheorie, spezifisch für $\C$. In Dimensionen größer gleich
$2$ sind einfach zusammenhängende Gebiete analytisch rigider: der
folgende Satz von Poincaré besagt, daß die offene Einheitskugel
$B_2^{2n}$ von $\C^n$ nicht komplex diffeomorph zu $D^n$ ist.
$\proof$
Sei $F:D\times D^{n-1}\rar B_2^{2n}$ ein komplexer Diffeomorphismus und $z_k$
eine Folge in $D^{n-1}$, die gegen einen Randpunkt $z\in\pa D^{n-1}$
konvergiert.
Dann ist $f_k(w)\colon=F(w,z_k)$ eine beschränkte Folge in $A(D)$;
nach dem Satz von Montel besitzt jede Teilfolge von $f_k$ ihrerseits
eine Teilfolge $f_{l(k)}$, die in $A(D)$ gegen $f:D\rar\cl B_2^{2n}$
Da $F:D^n\rar B_2^{2n}$ ein komplexer Diffeomorphismus ist, $f(w)=\lim_k F(w,z_{l(k)})$
existiert und $\lim z_{l(k)}=z\in\pa D^{n-1}$, folgt: $f(D)\sbe\pa B_2^{2n}$.
Da $\C^n$ mit der euklidischen Norm strikt konvex ist, folgt
nach Satz: $f$ ist konstant. Nach Proposition konvergiert daher $f_{l(k)}^\prime=\pa_wF(.,z_{l(k)})$ auf $D$ kompakt gegen $0$.
Da dies für jede Teilfolge von $f_k$ gilt, folgt:
$\lim_k\pa_wF(w,z_k)=0$ für jede gegen einen Randpunkt $z\in\pa D^{n-1}$
konvergente Folge $z_k$, i.e. für alle $w\in D$ besitzt die
komplex differenzierbare Abbildung $F_w:D^{n-1}\rar\C^n$, $F_w(z)\colon=\pa_wF(w,z)$
eine stetige Fortsetzung auf $\bar D^{n-1}$ mit dem Randwert $0$. Es
folgt also nach dem Maximumprinzip: $F_w=0$, i.e. $F$ hängt nicht von
$w$ ab, also ist $F$ nicht injektiv.
$\eofproof$
$\proof$
Sei $w_0\in H^+\colon=[\Im z > 0]$ und $c_z$ die Strecke zwischen $w_0$ und $z$. Dann ist $F(z)=A+\int_{c_z}F^\prime(w)\,dw$. $F$ ist auf $H^+$ analytisch und auf $\cl{H^+}$ stetig; ferner ist $F$ stetig und endlich in $\infty$, denn für hinreichend große Werte von $|z|$ ist $|F^\prime(z)|\leq K|z|^{\l_n-2}$ und da $\l_j\in(-1,1)$ existiert das Integral!
$F:H^+\rar\O^\circ$ ist bijektiv: Sei $c:I\rar\cl H^+$ eine einfach geschlossene Kurve und $w\notin c(I)$, dann ist
$$
N(w)\colon=\frac1{2\pi i}\int_c\frac{F^\prime(z)}{F(z)-w}\,dz
$$
nach dem Argumentprinzip die Anzahl der Lösungen der Gleichung $F(z)=w$ in $[\ind(z,c)=1]$. Sei $c_1$ das Intervall $[-R,R]$, $c_2$ der obere Halbkreis des Radius\lq\ $R$ und $c=c_1c_2$, dann folgt wegen $|F^\prime(z)|\leq K|z|^{\l_n-2}$:
$$
\lim_{R\to\infty}\int_{c_2}\Big|\frac{F^\prime(z)}{F(z)-w}\Big|\,dz=0
$$
und damit:
$$
2\pi iN(w)
=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R\frac{F^\prime(z)}{F(z)-w}\,dz
=\int_{\pa\O}\frac1{z-w}\,dz
$$
i.e. $N(w)=1$ falls $w\in\O^\circ$ und $N(w)=0$ für $w\notin\cl\O$.
$\eofproof$Bemerkung:
Unter den Punkten $x_1,\ldots,x_n$ kann man drei fixieren, also z.B. $x_1=-1$ und $x_2=0$ und $x_3=1$ setzen, denn zu je drei Punkten $x_1,x_2,x_3\in\R$ gibt es einen Diffeomorphismus $\vp:H^+\rar H^+$, so daß $\vp(-1)=x_1$, $\vp(0)=x_2$ und $\vp(1)=x_3$ (cf. Übungen).
Wir wählen zu $n\in\N$: $w_1=-n$, $w_2=n-i$, $w_3=0$ und $w_4=n+i$. Ferner
sei $F(-1)=w_2$, $F(+1)=w_4$, $F(\infty)=w_1$ und für ein $a\in(-1,1)$:
$F(a)=w_3$. Mit $n\to\infty$ folgt:
$\l_1=\l_2=\l_4=1$ und $\l_3=-1$, also:
\begin{eqnarray*}
F^\prime(z)&=&C(z+1)^{-1}(z-a)(z-1)^{-1}
\quad\mbox{i.e.}\\
F(z)&=&A+\tfrac12C\Big((a+1)\log(z+1)-(a-1)\log(z-1)\Big)~.
\end{eqnarray*}
Wir wählen zu $n\in\N$: $w_1=0$, $w_2=n$, $w_3=1+i$ und $w_4=in$. Ferner sei für ein $a > 0$: $F(-a)=w_1$, $F(0)=w_2$, $F(a)=w_3$ und $F(\infty)=w_4$. Mit $n\to\infty$ folgt: $\l_1=1/2$, $\l_2=1$ und $\l_3=-1/2$, also:
\begin{eqnarray*}
F^\prime(z)&=&C(z+a)^{-1/2}(z-a)^{-1/2}z^{-1}
\quad\mbox{i.e.}\\
F(z)&=&A+(C/a)\Big(\arcsin(z/a)+i\arcsin(a/z)\Big)~.
\end{eqnarray*}
Seien $w_3,\ldots,w_n$ äquidistante Punkte auf den Kreisbogen
$\{z\in\cl\O:|z-in|=R_n^2\}$, so daß $w_3,w_k\in\pa\O$, dann folgt
- wenn $R_n$ mit $n\to\infty$ hinreichend rasch gegen $\infty$ konvergiert:
$\l_1=-1/2$, $\l_2=1/2$ und $\l_3=\cdots=\l_n=0$, also:
\begin{eqnarray*}
F^\prime(z)&=&C(z+1)^{1/2}(z-1)^{-1/2}
\quad\mbox{i.e.}\\
F(z)&=&A+C\Big((z^2-1)^{1/2}+\log(z+(z^2-1)^{1/2})\Big)
\end{eqnarray*}
Wir bestimmen eine Riemannsche Abbildung $F:H^+\rar\O$ mit $F(-1/c)=-a/2+ib$,
$F(-1)=-a/2$, $F(1)=a/2$ und $F(1/c)=a/2+ib$: in diesem Fall gilt $\l_j=1/2$, also
$$
F^\prime(z)=C(z^2-1/c^2)^{-1/2}(z^2-1)^{-1/2}
=\frac{\wt C}{\sqrt{(1-z^2)(1-c^2\z^2)}}~.
$$
Wir bestimmen eine Riemannsche Abbildung $F:H^+\rar\O$ mit $F(-c)=-a/2$,
$F(-1)=-a/2+ib$, $F(1)=a/2+ib$ und $F(c)=a/2$: $\l_1=1/2$, $\l_2=-1/2$, $\l_3=-1/2$
und $\l_4=1/2$ also
$$
F^\prime(z)
=C(z+c)^{1/2}(z+1)^{-1/2}(z-1)^{-1/2}(z-c)^{1/2}
=C\Big(\frac{z^2-c^2}{z^2-1}\Big)^{1/2}~.
$$
Sei $\O\sbe\C$ ein Gebiet. Unter einem Automorphismus $f\in\Aut(\O)$ versteht man eine konforme Abbildung (oder einen komplexen Diffeomorphismus) $f:\O\rar\O$.
Nach Korollar bzw. Proposition ist
\begin{eqnarray*}
\Aut(\C)&=&\{f(z)=az+b:a\in\C\sm\{0\},b\in\C\}
\quad\mbox{bzw.}\\
\Aut(D)&=&\Big\{f(z)=c\frac{z-a}{1-\bar az}:a\in D,c\in S^1\Big\}
\end{eqnarray*}
Gibt es eine konforme Abbildung $F:\O\rar D$, so ist
$\Aut(\O)=\{F^{-1}\circ\vp\circ F:\vp\in\Aut(D)\}$. Z.B. ist die
Cayley-Transformation $F(z)=(i-z)/(i+z)$ eine konforme Abbildung von $H^+$ auf $D$
und
$$
\Aut(H^+)=\Big\{f(z)=\frac{az-b}{cz-d}:a,b,c,d\in\R,-ad+bc=1\Big\}
$$
$\proof$
Ist $f(\infty)=\infty$, so folgt nach Korollar:
$f(z)=\a z+\b$
mit $\a\neq0$. Ist $f(z_0)=\infty$ und $z_0\in\C$, so ist
$h(z)\colon=(z-z_0)^{-1}$ eine
konforme Abbildung mit $h(z_0)=\infty$, also ist $g\colon=f\circ h^{-1}$ eine
konforme Abbildung mit $g(\infty)=\infty$, i.e. $g(z)=\a z+\b$ mit $\a\neq0$
und damit ist
$$
f(z)=\a h(z)+\b=\frac{\a+\b z-\b z_0}{z-z_0}
$$
$\eofproof$
$\Aut(\cl\C)$ ist isomorph zu dem Quotienten
$\PSl(2,\C)\colon=\Sl(2,\C)/\{\pm1\}$ der speziellen linearen Gruppe $\Sl(2,\C)$,
i.e. zur Gruppe aller komplexen $2\times2$-Matrizen,
deren Determinante gleich $1$ ist: seien für $A,B\in\Sl(2,\C)$:
$$
T_A(z)=\frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}
\quad\mbox{bzw.}\quad
T_B(z)=\frac{b_{11}z+b_{12}}{b_{21}z+b_{22}}
$$
und $A=(a_{jk})$ bzw. $B=(b_{jk})$. Dann folgt mit $C\colon=BA=(c_{jk})$:
\begin{eqnarray*}
T_B\circ T_A(z)
&=&\frac{b_{11}\frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}+b_{12}}
{b_{21}\frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}+b_{22}}
=\frac{b_{11}(a_{11}z+a_{12})+b_{12}(a_{21}z+a_{22})}
{b_{21}(a_{11}z+a_{12})+b_{22}(a_{21}z+a_{22})}\\
&=&\frac{(b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21})z+(b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22})}
{(b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21})z+(b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22})}
=\frac{c_{11}z+c_{12}}{c_{21}z+c_{22}}~.
\end{eqnarray*}
Somit ist $A\mapsto T_A$ ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern $\{\pm1\}$,
i.e. die Möbius-Transformationen sind isomorph zu $\PSl(2,\C)$. Eine
Möbius-Transformation $(az+b)/(cz+d)$ besitzt genau dann einen Fixpunkt, wenn
$cz^2+(d-a)z-b=0$; $c\neq0$: $z^2+(d-a)z/c-b/c=0$ $z=(a-d)/2c\pm((a-d)^2/4c^2-b/c)$
$0=(a-d)^2-4bc=(a+d)^2-4$.
Spezielle Möbius-Transformationen:
Möbius-Transformationen der Form $M_a(z)=az$ nennt man Drehstreckung.
Möbius-Transformationen der Form $T_b(z)=z+b$ nennt man Translation.
Offensichtlich ist jede Möbius-Transformation die Komposition
von Translationen, Drehstreckungen und Inversionen; da jede dieser
Transformationen Kreise oder Geraden auf Kreise oder Geraden
abbildet, folgt, daß jede Möbius-Transformation Kreise oder
Geraden auf Kreise oder Geraden abbildet.
Reflections and inversion on circles
Sei $K$ ein Kreis in $\C$ mit dem Mittelpunkt $z_0$ und dem Radius $r>0$,
dann heißen
$$
z\mapsto z_0+r^2/(z-z_0)
\quad\mbox{bzw.}\quad
z\mapsto z_0+r^2/(\bar z-\bar z_0)
$$
die Inversion bzw. die Spiegelung von $z$ an $K$.
Konstruktion der Spiegelung: Sei $|z-z_0| < r$.
1. Verbinde $z_0$ und $z$ mit einer Geraden $G_1$.
2. Zeichne durch $z$ die zu $G_1$ normale Gerade $G_2$.
3. Konstruiere jenen Kreis $K^*$, der durch die Schnittpunkte $s_1$ und
$s_2$ von $K$ mit $G_2$ verläuft und den Kreis $K$ in diesen
Punkten normal schneidet.
4. Der Schnittpunkt von $K^*$ mit $G_1$, der außerhalb des Kreises
$K$ liegt ist der Spiegelungspunkt von $z$ an $K$.
$\proof$
Sei $\supp(f)\sbe B_R$, dann gilt nach Abschnitt:
$$
(iz)^{\a}\wh f(z)
=c_n\int_{B_R}e^{-i\la z,x\ra}\pa^\a f(x)\,dx~.
$$
Da für $\Vert x\Vert < R$: $|e^{-i\la z,x\ra}|\leq e^{R|\Im z|}$ und $\pa^\a f$ beschränkt ist, folgt: $|\wh f(z)|\leq C_Nh_0(z)^{-N}e^{R\norm{\Im z}}$.
2. Sei $F$ eine ganze analytische Funktion, die die angegebene Ungleichung erfüllt, dann liegt die Funktion $x\mapsto F(x+iy)$ für alle $y\in\R^n$ in ${\cal S}(\R^n)$ und nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt:
$$
c_n\int_{\R^n} F(x+iy)e^{i\la u,x+iy\ra}\,dx
=c_n\int_{\R^n} F(x)e^{i\la u,x\ra}\,dx
=\colon f(u)
$$
Nach Satz liegt $f$ in ${\cal S}(\R^n)$ und $F$ ist die Fourier-Transformierte von $f$. Es bleibt daher nur noch zu zeigen, daß $\supp(f)\sbe B_R$. Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt für alle $y\in\R^n$:
$$
f(u)=c_n\int_{\R^n} F(x+iy)e^{i\la u,x+iy\ra}\,dx;
$$
also folgt nach Voraussetzung:
$$
|f(u)|
\leq c_nC_N\int_{\R^n}(1+\Vert x\Vert)^{-N}e^{-\la u,y\ra+R\norm y}\,dx
$$
Wählen wir für $y=tu/\Vert u\Vert$, so folgt für $\norm u > R$ mit $t\to+\infty$: $f(u)=0$.
$\eofproof$
$$
P_{H^+}(z,t)=\frac1{\pi}\Re\Big(\frac i{z-t}\Big)
\quad\mbox{und}\quad
Q_{H^+}(z,t)=\frac1{\pi}\Im\Big(\frac i{z-t}\Big)
$$
Die Abbildung $R:z\mapsto(i-z)/(i+z)$ bildet $[\Im z>0]$ konform auf $D$ ab.
Zur Bestimmung der Kerne berechnen wir
$$
\frac{R(w)+R(z)}{R(w)-R(z)}
%=\frac{\frac{i-w}{i+w}+\frac{i-z}{i+z}}{\frac{i-w}{i+w}-\frac{i-z}{i+z}}
%=\frac{(-1+iz-iw-wz)+(-1+iw-iz-wz)}{(-1+iz-iw-wz)-(-1+iw-iz-wz)}
=i\frac{1+wz}{z-w}
=i\frac{\bar z-\bar w+w|z|^2-z|w|^2}{|z-w|^2}
$$
sowie $R^\prime(w)/R(w)=2i/(1+w^2)$. Es folgt für $w=t\in\R$ und $z=x+iy$:
$$
\frac1{2\pi i}\Re\Big(\frac{R(t)+R(z)}{R(t)-R(z)}\Big)\frac{R^\prime(t)}{R(t)}
=\frac{y}{\pi|z-t|^2}
=\frac1{\pi}\Re\Big(\frac i{z-t}\Big)~.
$$
Insbesondere erhalten wir aus dem konjugierten Kern für
$\Im z=0$ und $\Re z=x$ die Hilbert-Transformation auf $\R$:
$Hf(x)=\pi^{-1}\pv\int(x-t)^{-1}f(t)\,dt$.
Da $G_a^\prime(w)/G_a(w)=2i\Im(a)/(w-\bar a)(w-a)$, erhalten wir
$$
\frac{R_{z}^\prime(w)}{2\pi iR_{z}(w)}
=\frac{e^{i\pi w}G_a^\prime(e^{i\pi w})}{2G_a(e^{i\pi w})}
=\frac{i\Im(e^{i\pi z})e^{i\pi w}}{(e^{i\pi w}-e^{i\pi z})(e^{i\pi w}-e^{-i\pi\bar z})}\\
$$
Für $w=0+it$ bzw. $w=1+it$ ist $e^{i\pi w}=e^{-\pi t}$ bzw. $e^{i\pi w}=-e^{-\pi t}$,
also folgt:
\begin{eqnarray*}
P_S^0(z,t)
&\colon=&-\frac1{2\pi}\frac{R_z^\prime(it)}{R_z(it)}
=\frac{\Im(e^{i\pi z})e^{-\pi t}}{|e^{-\pi t}-e^{i\pi z}|^2}
\quad\mbox{und}\\
P_S^1(z,t)
&\colon=&\frac1{2\pi}\frac{R_z^\prime(1+it)}{R_z(1+it)}
=\frac{\Im(e^{i\pi z})e^{-\pi t}}{|e^{-\pi t}+e^{i\pi z}|^2}
\end{eqnarray*}
Die Funktion $u_0(x+iy)\colon=x$ ist harmonisch
und $u_0|[\Re z=0]=0$, $u_0|[\Re z=1]=0$, also: $\int P_S^1(x+iy,t)\,dt=x$;
analog folgt: $\int P_S^0(x+iy,t)\,dt=1-x$. Damit können wir eine genauere
Version des $3$-Linien Satz formulieren:
$\proof$
Seien $f_0,f_1:\R\rar\R$ beschränkte, glatte Funktionen, so daß
$f_0(t)\geq\log\norm{f(it)}$ und $f_1(t)\geq\log\norm{f(1+it)}$. Sei
$u:S\rar\R$ harmonisch mit $u(it)=f_0(t)$ und $u(1+it)=f_1(t)$,
dann folgt aus der Poisson-Formel: $u(x+iy)\leq(1-x)M_0+xM_1=\Re((1-z)M_0+zM_1)$.
Setzen wir $F_n(z)\colon=\exp(-u(z)-i\wt u(z))f(z)e^{(z^2-1)/n}$, so gilt:
$\lim_{z\in\cl S,|z|\to\infty}\tnorm{F_n(z)}=0$ und für alle $t\in\R$:
$\norm{F_n(it)}\leq1$ sowie $\norm{F_n(1+it)}\leq1$. Nach dem
Maximumprinzip muß daher gelten: $\norm{F_n(z)}\leq 1$ und mit
$n\to\infty$: $\norm{\exp(-u(z))f(z)}\leq 1$, also:
$\log\norm{f(z)}\leq u(z)$.
$\eofproof$
Green's function
Auf $\C\sm\{z\}$ ist die Funktion $\G_z:w\mapsto-\log|z-w|$ harmonisch, denn
$\pa_w\G_z(w)=-\tfrac12(w-z)^{-1}$ und $\pa_{\bar w}\pa_w\G_z(w)=0$.
Sei $\O$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit stückweise
glattem Rand $\pa\O$, $z\in\O$ und $H(z,.):\O\rar\R$ harmonisch, so
daß für alle $w\in\pa\O$: $H(z,w)=\log|z-w|$. Die Funktion
\begin{equation}\label{pkgeq7}\tag{PKG7}
G(z,w)\colon=-\frac1{2\pi}\Big(\log|z-w|-H(z,w)\Big)
\end{equation}
nennt man eine Greensche Funktion
für $\O$. $G(z,.)$ ist auf $\O\sm\{z\}$ harmonisch und für alle
$z\in\O$ und alle $w\in\pa\O$ verschwindet $G(z,w)$; ferner können wir $G$ mithilfe
der Poisson-Formel \eqref{pkgeq4} ermitteln
d.h. der Poisson-Kern bestimmt die Greensche Funktion.
Wir zeigen nun inwiefern die Greensche Funktion erlaubt
Randwertprobleme für den Laplace-Operator zu lösen: Sei $G_z(w)\colon=G(z,w)$;
substituieren wir in der Stokesschen Formel (cf. Unterabschnitt) $F\to u\pa_{w}G_z$ und $G\to G_z\pa_{\bar w}u$, so folgt:
$$
2i\int_{\O\sm B_r(z)}-G_w\pa_{\bar w}\pa_wu
=\int_{\pa\O}u\pa_wG_z\,dw
-\int_{\pa B_r(z)}u\pa_wG_z\,dw+G_z\pa_{\bar w}u\,d\bar w
$$
Mit $r\dar0$ erhalten wir:
$$
2i\int_{\O}-G_z\pa_{\bar w}\pa_wu
=\int_{\pa\O}u\pa_wG_z\,dw
+\tfrac12 iu(z)
$$
und da $-4\pa_{\bar w}\pa_w=\D$:
$$
u(z)=\int_{\O}G_z\D u+2i\int_{\pa\O}u\pa_wG_z\,dw
$$
Die Greensche Funktion gestattet daher das Randwertproblem $\D u=f$ und
$u|\pa\O=g$ unmittelbar zu lösen, nämlich:
\begin{equation}\label{pkgeq8}\tag{PKG8}
u(z)=\int_{\O}G_zf+2i\int_{\pa\O}g\pa_wG_z\,dw
\end{equation}
Für $f=0$ ist $u$ harmonisch und folglich muß $2i\pa_wG_z$ i.W. der
Poisson-Kern von $\O$ sein, d.h. die Greensche Funktion bestimmt den
Poisson-Kern.
Für ein einfach zusammenhängendes Gebiet $\O\neq\C$ reduzieren wir
die Bestimmung der Greenschen Funktion $G_\O$ abermals mittels einer konformen
Abbildung $R:\O\rar D$ auf den Einheitskreis. Bezeichnet $G_D$ die Greensche
Funktion für $D$, so möchten wir zeigen, daß $G_\O(z,w)$ gegeben ist durch
$G_D(R(z),R(w))$.
Zunächst ist $\pa_w G_D(R(z),R(w))=\pa_2G(R(z),R(w))R^\prime(w)$.
Seien $f:\O\rar\R$ und $g:\pa\O\rar\R$; setzen wir $f_D=f\circ R^{-1}$
und $g_D=g\circ R^{-1}$, so folgt nach der Substitutionsregel >cf. Abschnitt):
\begin{eqnarray*}
&&\int_{\O}G_D(R(z),R(w))f(w)|R^\prime(w)|^2
+2i\int_{\pa\O}g\pa_2G_D(R(z),R(w))R^\prime(w)\,dw\\
&=&\int_DG_D(R(z),w)f_D(w)
+2i\int_{\pa D}g_DG(R(z),w)\,dw
\end{eqnarray*}
dies ist die Lösung $v:D\rar\R$ der Gleichung $\D v=f_D$, $v|\pa D=g_D$ im Punkt
$R(z)$. Andererseits erfüllt $u=v\circ R$ nach Abschnitt die Gleichung $\D u=\D v(R)|R^\prime|^2=f|R^\prime|^2$, d.h.
$$
v(R(z))=u(z)=\int_{\O}G_\O(z,w)f(w)|R^\prime(w)|^2
+2i\int_{\pa\O}g(w)\pa_wG_\O(z,w)\,dw~.
$$
und somit ist die Greensche Funktion $G_\O$ für $\O$ gegeben durch
\begin{equation}\label{pkgeq9}\tag{PKG9}
G_\O(z,w)=G_D(R(z),R(w))~.
\end{equation}
Diese Beziehung erlaubt uns aber auch schon die Greensche Funktion $G_D$
des Einheitskreises selbst zu
bestimmen, denn wenn wir $R=\vp_z$ wählen, dann folgt:
$G_D(0,\vp_z(w))=G_D(z,w)$. Nun ist aber $2\pi G_D(0,w)=-\log|w|+H(0,w)$, wobei
$H(0,w)$ eine harmonische Funktion mit dem Randwert $0$ ist, i.e.
$2\pi G_D(0,w)=-\log|w|$ und damit:
\begin{equation}\label{pkgeq10}\tag{PKG10}
G_D(z,w)=-\frac1{2\pi}\log\Big|\frac{z-w}{1-\bar zw}\Big|~.
\end{equation}
Klarerweise kann man umgekehrt aus der Greenschen Funktion eine konforme
Abbildung zurückgewinnen: Sei $z_0\in\O$ und $R(z_0)=0$, dann ist
$G_\O(z_0,w)=G_D(0,R(w))=-\log|R(w)|/2\pi$, also:
$|R(w)|=\exp(-2\pi G_\O(z_0,w))$.
Sei $\wt h$ die zu $h\colon=H_{z_0}$ konjugierte harmonische Funktion und
$$
R(z)\colon=(z-z_0)\exp(-h(z)-i\wt h(z))~.
$$
Dann ist $R:\O\rar\C$ analytisch und es gilt: $R(\pa\O)\sbe S^1$ und
$R(\O)\sbe D$:
Für $z\in\O$ ist
\begin{eqnarray*}
R(z)
&=&\exp(\log|z-z_0|-h(z)-i\wt h(z)+i\arg(z-z_0))\\
&=&\exp(-2\pi G_{z_0}(z)-i\wh h(z)+i\arg(z-z_0))
\end{eqnarray*}
und aus $G|\pa\O=0$, folgt: $|R|\pa\O|=1$; nach dem Maximumprinzip folgt
daher: $R(\O)\sbe D$.
2. Falls $R:\pa\O\rar S^1$ stetig differenzierbar ist, so verschwindet ihre
Ableitung in keinem Punkt und folglich ist $R:\pa\O\rar\pa D$ surjektiv:
Zunächst impliziert $G_{z_0}|\pa\O=0$, daß für alle $z\in\pa\O$:
$R(z)=\exp(-i\wt h+i\arg(z-z_0))$, i.e. $R(\pa\O)\sbe\pa D$.
Angenommen es gibt ein $p=a+ib\in\pa\O$, so daß die reelle Ableitung von
$R$ im Punkt $p$ in Richtung eines Einheitsvektors $w\in T_p\pa\O$ verschwindet,
d.h. $0=D^\R R(p)w$. Setzen wir $\wt G_{z_0}(z)\colon=-\wt h(z)+i\arg(z-z_0)$,
so bedeutet
dies: $-iR(p)d\wt G_{z_0}(p)w=0$, also:
$0=d\wt G_{z_0}(p)w$.
Nun ist $\wt G_{z_0}$ der Imaginärteil einer analytischen Funktion mit dem
Realteil $-2\pi G_{z_0}(z)$
Nach den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
gilt aber $\pa_{\bar z}(-2\pi G_{z_0}+\wt G_{z_0})=0$ und
$\pa_{z}(-2\pi G_{z_0}-\wt G_{z_0})=0$, also:
$$
d\wt G_{z_0}(p)w
=\pa_z\wt G_{z_0}(p)w+\pa_{\bar z}\wt G_{z_0}(p)\bar w
=2\pi(-\pa_{z}G_{z_0}w+\pa_{\bar z}G_{z_0}\bar w
=2\pi dG_{z_0}(-iw)
$$
i.e. die Ableitung von $G_{z_0}$ in Richtung der Normalen zu $\pa\O$ im Punkt
$p$ verschwindet. Da $-G_{z_0}$ auf $\O\sm\{z_0\}$ harmonisch ist, $-G(z_0)=-\infty$
und $G_{z_0}|\pa\O=0$, nimmt $G$ in jedem Randpunkt ihr Maximum $0$ an. Nach
dem Zaremba Prinzip verschwindet daher die Ableitung von $G$ in Richtung der
Normalen zu $\pa\O$ in keinem Punkt $p\in\pa\O$.
Somit ist $f:\pa\O\rar S^1$ offen und da $\pa\O$ und $S^1$ kompakt und
zusammenhängend sind, ist $f$ surjektiv.
3. $R:\O\rar D$ ist bijektiv:
Sei $c(I)=\pa\O$; nach Satz ist für alle $w\in D$
die Windungszahl von $R\circ c$ bezüglich $w$ die Anzahl der Lösungen
$z\in\O$ der Gleichung $R(z)=w$. Da $z_0$ eine einfache Nullstelle
von $R$ ist, ist nach Satz sowie dem Residuensatz:
$$
\ind(0,R\circ c)
=\frac1{2\pi i}\int_c\frac{R^\prime(z)}{R(z)}\,dz
=1
$$
und da $w\mapsto\ind(w,R\circ c)$ auf jeder Zusammenhangskomponente
von $R(c(I))^c$ konstant ist, besitzt die Gleichung $R(z)=w$ für
alle $w\in D$ genau eine Lösung in $\O$, i.e. $R:\O\rar D$ ist bijektiv.
$G$ ist auf $\O\sm\{z_0\}$ harmonisch und es gilt $G|\pa\O=0$.
Sei $H_0$ die zu $G_0$ konjugierte harmonische Funktion und
$$
F(z)\colon=(z-z_0)\exp(G_0(z)+iH_0(z))~.
$$
Dann ist $F:\O\rar\C$ analytisch und es gilt: $F(\pa\O)\sbe S^1$ und $F(\O)\sbe D$.
Ist $F:\pa\O\rar S^1$ stetig differenzierbar, so verschwindet ihre Ableitung in keinem Punkt und folglich ist $F:\pa\O\rar S^1$ surjektiv.
$\proof$
Für $z\in K$ und alle $0$\eofproof$
Für $k=0$ besagt dieses Lemma, daß die Abbildung $f\mapsto f|K$
von $A_p(\O)$ in $C(K)$ für alle kompakten Teilmengen $K$ von $\O$
stetig ist, also ist die kanonische Injektion $A_p(\O)\hrar A(\O)$
stetig - nach dem Satz von Montel ist sie sogar kompakt, d.h. die
Einheitskugel von $A_p(\O)$ ist in $A(\O)$ relativ kompakt: eine Folge
$f_n$ in $A_p(\O)$, die in $L_p(\O)$
gegen $f$ konvergiert, konvergiert daher auf allen kompakten Teilmengen
$K$ von $\O$ gleichmäßig; nach Proposition
ist $f$ komplex differenzierbar und somit ist $A_p(\O)$ ein abgeschlossener
Unterraum von $L_p(\O)$ und damit ein Banachraum - insbesondere ist
$A_2(\O)$ ein Hilbertraum.
Wir zeigen nun, daß die orthogonale Projektion von $L_2(\O)$
auf $A_2(\O)$ ein Integraloperator mit einer analytischen Kernfunktion
- dem sogenannten Bergman-Kern - ist: Sind $f,g:\O\rar\C$ Funktionen
auf $\O$, so bezeichnen wir im Folgenden mit $f\otimes g$ die Funktion
$(z,w)\mapsto f(z)g(w)$.
$\proof$
Sei $K$ eine kompakte Teilmenge von $\O$, dann gibt es nach
Lemma eine Konstante $C$, so daß für alle
$n\in\N$, alle $z\in K$ und alle $\e_j\in\C$ mit $|\e_j|=1$:
\begin{eqnarray*}
\sum_{j\leq n}|u_j(z)|^2
&=&\int_\O|\sum_{j\leq n} u_j(z)\e_ju_j(w)|^2\,\l(dw)\\
&\geq&C\sup_{w\in K}\sup_{|\e_j|=1}|\sum_{j\leq n} u_j(z)\e_ju_j(w)|^2
\geq C\Big(\sum_{j\leq n}|u_j(z)|^2\Big)^2~.
\end{eqnarray*}
D.h. für alle $z\in K$ gilt: $\sum|u_j(z)|^2\leq1/C$ und damit:
$$
\forall z,w\in K:\qquad
\sum|u_j(z)\bar u_j(w)|\leq
(\sum|u_j(z)|^2)^{1/2}(\sum|u_j(w)|^2)^{1/2}
\leq1/C~.
$$
Die Reihe $\sum u_j(z)\bar u_j(w)$ konvergiert also auf $K\times K$
gleichmäßig. Analog gilt für alle $f\in L_2(\O)$ und alle $z\in K$:
$$
\sum|\la f,u_j\ra u_j(z)|\leq
(\sum|\la f,u_j\ra|^2)^{1/2}(\sum|u_j(z)|^2)^{1/2}
\leq\norm f_2/\sqrt C~.
$$
$\eofproof$
Der lineare Operator, der jeder Funktion $f\in L_2(\O)$ die Funktion
\begin{equation}\label{bergeq3}\tag{BKE3}
z\mapsto\int_\O B_\O(z,\bar w)f(w)\,\l(dw)
=\lim_n\sum_{j=1}^n\la f,u_j\ra u_j(z)
\end{equation}
zuordnet ist also die orthogonale Projektion von $L_2(\O)$
auf $A_2(\O)$. Es gilt:
\begin{equation}\label{bergeq4}\tag{BKE4}
\forall z,w\in\O:\quad
B(z,\bar w)=\cl{B(w,\bar z)}
\quad\mbox{und}\quad
B(z,\bar z)\geq0~.
\end{equation}
Die erste Beziehung ist äquivalent zur Selbstadjungiertheit der orthogonalen
Projektion und die zweite folgt aus deren Positivität.
$\proof$
2. Die Menge $C\colon=\{f\in A_2(\O): f(w)=1\}$ ist
konvex, abgeschlossen und $0\notin C$. Somit gibt es genau eine
Funktion $f_0\in C$, so daß $\norm{f_0}=\inf\{\norm f:f\in C\}$.
Für alle $f\in C$ gilt:
\begin{eqnarray*}
1&=&f(w)=\sum\la f,u_j\ra u_j(w)\\
&\leq&(\sum|\la f,u_j\ra|^2)^{1/2}(\sum|u_j(w)|^2)^{1/2}
=\norm f_2 B_\O(w,\bar w)^{1/2}
\end{eqnarray*}
also: $\norm f_2\geq B_\O(w,\bar w)^{-1/2}$. Für die Funktion
$f_1(z)\colon=B_\O(z,\bar w)/B_\O(w,\bar w)$ gilt aber: $f_1\in C$ und
$$
\norm{f_1}_2^2
=\frac{\norm{\sum u_j\bar u_j(w)}_2^2}{B_\O(w,\bar w)^2}
=\frac{\sum|u_j(w)|^2}{B_\O(w,\bar w)^2}
=B_\O(w,\bar w)^{-1}
$$
i.e. $f_1=f_0$.
$\eofproof$
Für alle $|c|=1$ gilt aufgrund der Rotationsinvarianz des
Lebesguemaßes $\l$ auf $\C$:
$$
c^{k-l}\int z^k\bar z^l\,\l(dz)
=\int(cz)^k\cl{cz}^l\,\l(dz)
=\int z^k\bar z^l\,\l(dz)~.
$$
Falls also $k\neq l$, dann folgt: $\int z^k\bar z^l\,\l(dz)=0$. Für
$l=k$ erhalten wir mittels Integration in Polarkoordinaten:
$$
\int|z^{2k}|\,\l(dz)
=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^{2k+1}\,dr\,d\theta
=\frac{\pi}{k+1}~.
$$
Da die Polynome in $A_2(D)$ dicht liegen, ist $u_k$, $k\in\N_0$, eine
orthonormale Basis von $A_2(D)$.
Bergman kernels and Riemann mappings
Sei nun $F:\O\rar D$ eine Riemannsche Abbildung und für $k\in\N_0$:
$u_k(z)\colon=F(z)^kF^\prime(z)$, dann ist nach Abschnitt:
$$
\la u_k,u_j\ra
=\int_\O F(z)^k\cl{F(z)}^j|F^\prime(z)|^2\,\l(dz)
=\int_Dz^k\bar z^j\,\l(dz)
=\d_{jk}\pi/(1+k)~.
$$
Somit ist $u_k\sqrt{(1+k)/\pi}$ eine orthonormale Basis von $A_2(\O)$ und
\begin{equation}\label{bkeeq5}\tag{BKE5}
B_\O(z,\bar w)
\colon=\frac1{\pi}\frac{F^\prime(z)\cl{F^\prime(w)}}{1-(F(z)\cl{F(w)})^2}
\end{equation}
der Bergman-Kern von $\O$. Falls $F(z_0)=0$, so
folgt: $\pi B_\O(z,\bar z_0)=F^\prime(z)\cl{F^\prime(z_0)}$ und
$\pi B_\O(z_0,\bar z_0)=F^\prime(z_0)^2$. Fall also $F^\prime(z_0)>0$, dann ist:
\begin{equation}\label{bergeq6}\tag{BKE6}
F^\prime(z)=\frac{\sqrt{\pi}B_\O(z,\bar z_0)}{\sqrt{B_\O(z_0,\bar z_0)}}
\end{equation}
i.e. der Bergman-Kern bestimmt die Riemannsche Abbildung.
In diesem
Fall ist $F(z)=(z-i)/(z+i)$ eine Riemannsche Abbildung auf den Einheitskreis
$D$ mit $F(i)=0$ und $F^\prime(z)=2i/(z+i)^2$; nach
\eqref{bkeeq5} folgt:
$$
B_{H^+}(z,\bar w)
=\frac1{\pi}\frac{i}{(1+z\bar w)(z-\bar w)}~.
$$
Sei $F:H^+\rar D$, $z\mapsto(z-i)/(z+i)$, dann ist
$$
u_k(z)=F(z)^kF^\prime(z)=\frac{2i(z-i)^k}{(z+i)^{k+2}}
$$
eine orthogonale Basis mit $\norm{u_k}^2=\pi/(k+1)$.
$\proof$
Bezeichnet für $k=2,\ldots,n$ $A_k$ die Menge aller $k$-Tupel
$(j_1,\ldots,j_k)\in\N^k$, so daß $1\leq j_l\leq n$ und
$j_1,\ldots,j_k$ paarweise verschieden sind, so gilt:
$$
|\prod_{j\leq n}(1+z_j)-1-\sum_{j\leq n}z_j|
=|\sum_{k=2}^n \prod_{(j_1,\ldots,j_k)\in A_k}z_{j_1}\cdots z_{j_k}|
\leq a^2+a^3+\cdots
\leq\frac{a^2}{1-a}
$$
$\eofproof$
Falls also $\sum|z_k|<\infty$ und $z_k\neq1$, dann konvergiert das Produkt
$\prod(1+z_k)$ gegen einen von $0$ verschiedenen Wert.
I.A. muß das Produkt $\prod(1-z/z_j)$ jedoch nicht konvergieren, wir
erzwingen die Konvergenz mittels elementarer Faktoren.
$\proof$
Da die Ableitung von $z\mapsto E(z,n)$ gleich $-z^n\exp(z+\ldots+z^n/n)$ ist,
folgt nach der Taylor-Formel:
\begin{eqnarray*}
|1-E(z,n)|
&=&|z|^{n+1}\Big|\int_0^1 t^n\exp(tz+\cdots+(tz)^n/n)\,dt\Big|\\
&\leq&|z|^{n+1}\int_0^1 t^n\exp(t+\cdots+t^n/n)\,dt\\
&=&|z|^{n+1}(E(0,n)-E(1,n))
=|z|^{n+1}
\end{eqnarray*}
$\eofproof$
In der Nähe von $0$ verhält sich $E(z,n)$ so ähnlich wie $1-z^{n+1}$; letztere
Funktion ist aber für uns ungeeignet, da sie $n+1$ verschiedene Nullstellen
besitzt!
$\proof$
Da $z_k$ keinen Häufungspunkt besitzt, folgt: $\lim|z_k|=\infty$.
Zu jedem $z\in\C$ gibt es ein $k_0\in\N$, so daß für $k>k_0$: $|z/z_k|<1/2$.
Setzen wir also $p_k=k-1$, so folgt $\sum_{k>k_0}|z/z_k|^k<1$.
2. Sei zu allen $n\in\N$:
$f_n(z)\colon=\prod_{k\leq n}E(z/z_k,p_k)$.
Wir wählen zu $R>0$ ein $N\geq2$, so daß für alle $n\geq N$
und alle $|z|\leq R$: $\sum_{k>n}|z/z_k|^{1+p_k}\leq1/2$.
Dann folgt für alle $n\geq N$ nach Lemma:
$$
a\colon=\sum_{k>n}|E(z/z_k,p_k)-1|
\leq\sum_{k>n}|z/z_k|^{1+p_k}
\leq1/2~.
$$
Nach Lemma konvergiert $f_n(z)$ kompakt gegen eine
ganze Funktion $f$ und es gilt für alle $n > m\geq N$:
\begin{eqnarray*}
|1-f_n(z)/f_m(z)|
&=&|1-\prod_{m < j\leq n}(1+E(z/z_k,p_k)-1)|\\
&\leq&\sum_{m < j\leq n}|E(z/z_k,p_k)-1|+\frac{a^2}{1-a}
\leq2^{-m}+2.4^{-m}
\end{eqnarray*}
i.e. $|1-f(z)/f_m(z)|<1$. Ist nun $w$ eine Nullstelle von $f$,
so folgt: $f_m(w)=0$, was aber nur möglich ist, wenn
$w\in\{z_1,\ldots,z_m\}$.
$\eofproof$
Ist nun $f:\C\rar\C$ eine ganze Funktion mit den in ihrer Vielfachheit
aufgelisteten Nullstellen $z_k\neq0$, so gibt es eine Folge $p_k\in\N$,
ein $m\in\N_0$ sowie eine ganze Funktion $g$, so daß für alle $z\in\C$:
\begin{equation}\label{psweq3}\tag{WPT3}
f(z)=z^m\exp(g(z))\prod_{k=1}^\infty E(z/z_k,p_k)~.
\end{equation}
Denn ist $m$ die Vielfachheit der (möglichen) Nullstelle $0$ von $f$ und
$$
F(z)\colon=f(z)/z^m\prod_{k=1}^\infty E(z/z_k,p_k),
$$
so ist $F$ eine nullstellenfreie,
ganze Funktion. Da $\C$ einfach zusammenhängend ist, gibt es einen
Logarithmus $g$ von $F$ auf $\O$, i.e. $F=e^g$.
Sei $f(z)\colon=1/z\G(z)=1/\G(1+z)$, dann ist $f(0)=1$ und
$f^\prime(0)=-\G^\prime(1)/\G(1)^2=\g$; es folgt: $b=0$ und $a=\g$.
Die Wachstumsordnung bestimmt auch das Wachstum der Koeffizienten $a_n\in X$ einer
ganzen Funktion $f:\C\rar X$, $f(z)=\sum a_nz^n$. Denn falls
$\norm{f(z)}\leq C\exp(a|z|^p)$, dann folgt nach der Cauchyschen Integralformel
für alle $r>0$:
$$
\norm{a_n}=\tnorm{f^{(n)}}/n!
\leq\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\tnorm{f(re^{it})}r^{-n}\,dt
\leq C\exp(ar^p)r^{-n}
$$
Nun wählen wir $r>0$, so daß der letzte Ausdruck minimal wird, i.e.
wir wählen: $r=(n/ap)^{1/p}$; es folgt: $\norm{a_n}\leq C(aep/n)^{n/p}$.
Diese Abschätzung ist mehr oder minder optimal, denn für $k\in\N$ und
$f_k(z)\colon=\exp(z^k)$ erhalten wir: $a_{nk}=1/n!\sim(e/n)^n$, also:
$a_n\sim(ek/n)^{n/k}$.
$\proof$
Sei o.B.d.A $R=1$; setze
$$
g(z)\colon=f(rz)/\prod_{j=1}^n\vp_{z_j/r}(z),
$$
dann ist $g:D\rar\C$ komplex differenzierbar und besitzt keine Nullstellen auf
$D$, also ist $\log|g(z)|$ harmonisch; ferner ist für alle $|z|=1$:
$|g(z)|=|f(rz)|$ und somit folgt:
\begin{eqnarray*}
\log|f(0)|
&=&\log|g(0)|+\sum\log|z_j/r|
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|g(e^{it})|\,dt
+\sum\log|z_j/r|\\
&=&\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt
+\sum\log|z_j/r|~.
\end{eqnarray*}
$\eofproof$
Aus der Jensen-Formel kann man unmittelbar eine obere Schranke für
die in ihrer Vielfachheit gezählte Anzahl der Nullstellen von $f$
ablesen, denn sind $z_1,\ldots,z_n$ diese Nullstellen von $f$ im Kreis
mit Radius $r/e$, so folgt $\log|z_j/r|\leq-1$, also:
$$
n\leq\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt-\log|f(0)|
$$
Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß $f(0)=1$ und setzen wir
$M(r)\colon=\sup\{|f(z)|:|z|\leq r\}$, so folgt: $n\leq\log M(r)$. Falls
z.B. $M(r)\leq\exp(ar^p)$, dann folgt: $n(r)\leq a(er)^p$. Bezeichnet $\mu$
das Zählmaß auf $\{|z_1|\leq|z_2|,\ldots\}$, so folgt für alle $q>p$:
$$
\sum|z_j|^{-q}
=\int_{|z_1|}^\infty{-q}\,\mu(dx)
=q\int_{|z_1|}^\infty r^{-q-1}n(r)\,dr < \infty
$$
$\proof$
Seien $a\in D$ und $|c|=1$, dann gilt:
$$
\Big|1-c\frac{a-z}{1-\bar az}\Big|
=\Big|\frac{1-ca+cz(1-\bar a\bar c)}{1-\bar az}\Big|,
$$
wählen wir also $c\colon=|a|/a\in D$, so folgt $ca\in\R$ und für $|z| 0$ ein $n_\e\in\N$, so daß $\sum_{j>n_\e}\log|z_j| < \e$. Nun wählen wir $r$ so nahe bei $1$, daß
$$
\sum_{j=1}^{n_\e}|\log|z_j/r|-\log|z_j|| < \e~.
$$
Damit folgt:
$$
0\leq-\frac1{2\pi}\int\log|B(re^{it})|\,dt
\leq2\e~.
$$
$\eofproof$
Unter der Nevanlinna Klasse $N(D)$ versteht man den Raum der analytischen Funktionen $f:D\rar\C$, so daß:
$$
\sup_{r < 1}\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt<\infty~.
$$
$\proof$
Sei $f:D\rar\C$ und $z_n\neq0$ die in ihrer Vielfachheit
aufgelisteten Nullstellen von $f(z)=z^m g(z)$ mit $g(0)\neq0$. Nach
der Jensen-Formel folgt dann:
$$
\log|g(0)|-\sum_{|z_j| < r}\log|z_j/r|
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|g(re^{it})|\,dt
$$
und damit:
$$
\log|g(0)r^m|-\sum_{|z_j| < r}\log|z_j/r|
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt~.
$$
Ferner ist $r\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt$ monoton steigend
(cf. Übungen). Falls $f\in N(D)$, dann folgt mit $r\uar1$:
$$
\log|g(0)|+\sum-\log|z_j|\leq C~.
$$
Ist umgekehrt $\sum-\log|z_j|\leq c$, so folgt:
$$
\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\log|f(re^{it})|\,dt
\leq c+\log|g(0)|~.
$$
$\eofproof$
Funktionen aus der Nevanlinna Klasse besitzen folgende Faktorisierung:
$\proof$
Sei o.B.d.A. $f(0)\neq0$. Definieren wir
$g(z)=f(z)/B(z)$, so ist $g$ analytisch und verschwindet
in keinem Punkt von $D$.
$\eofproof$
Müntz' theorem
Sei $1\leq p < \infty$, $\a_n>-1/p$ eine Folge paarweise
verschiedener reeller Zahlen und $f_n(x)=x^{\a_n}$. Falls
der von $f_n$ aufgespannte Teilraum von $L_p[0,1]$ nicht
dicht ist, dann existiert eine Funktion $g\in L_q[0,1]$, $1/p+1/q=1$, so
daß für alle $n\in\N$ die Funktion $u:[\Re z>-1/p]\rar\C$,
$$
u(z)\colon=\int x^zg(x)\,dx
$$
an der Stelle $\a_n$ verschwindet. Da $u^\prime(z)=\int x^z\log x g(x)\,dx$
für alle $z\in\C$ mit $\Re z>-1/p$, ist $u$ analytisch.
Angenommen es gibt ein $\e>0$, so daß für alle $n\in\N$:
$\a_n > -1/p+\e$, dann ist $u$ auf $[\Re z>-1/p+\e]$ beschränkt.
Nun ist die Abbildung $F:D\rar[\Re z>-1/p+\e]$, $F(z)\colon=(1+z)/(1-z)-1/p+\e$
konform und folglich ist $v(z)\colon=u(F(z))$
analytisch und beschränkt auf $D$ mit den Nullstellen
$$
z_n
\colon=\frac{\a_n+\frac1p-\e-1}{\a_n+\frac1p-\e+1}
=1-\frac2{\a_n+\frac1p-\e+1}~.
$$
Ist also $u\neq0$, so folgt:
$$
\infty>\tfrac12\sum(1-|z_n|)
=\sum\frac1{\a_n+\frac1p-\e+1}~.
$$
Mit $\F\colon=\F(X_0,X_1)$ bezeichnen wir den Unterraum aller
stetigen und beschränkten Funktionen
$F:\cl S\rar X_+$, die auf $S$ analytisch sind mit der Norm
\begin{equation}\label{kieq1}\tag{CIN1}
\norm F_{\F}\colon=
\sup\{\norm{F(it)}_0\vee\norm{F(1+it)}_1:\,t\in\R\}~.
\end{equation}
wobei $a\vee b\colon=\max\{a,b\}$.
Da nach dem $3$-Linien Satz für $F\in\F$:
$\sup\norm{F(z)}_+\leq\norm F_{\F}$ ist
$(\F,\norm{.}_{\F})$ ein Banachraum (cf. Übungen) und
$N_\theta\colon=\{F\in\F(X_0,X_1):F(\theta)=0\}$ ist ein abgeschlossener
Unterraum von $\F(X_0,X_1)$, denn es ist der Kern der stetigen linearen Abbildung
$J_\theta(F)\colon=F(\theta)$. Für $0\leq\theta\leq1$ sind daher die
Quotientenräume $\F(X_0,X_1)/N_\theta$ Banachräume - man nennt sie die Interpolationsraum
zwischen $X_0$ und $X_1$.
$\proof$
Sei $x\in X_\theta$ und $\e>0$, dann gibt es ein $F\in\F(X_0,X_1)$, so
daß $\norm F_{\F}<\norm x_\theta+\e$. Sei
$G(z)\colon=C_0^{z-1}C_1^{-z}A(F(z))$, dann ist $G\in\F(Y_0,Y_1)$,
$\norm G_\F\leq\norm F_\F$ und $G(\theta)=C_0^{\theta-1}C_1^{-\theta}Ax$,
also:
$$
\norm{Ax}_\theta
\leq C_0^{1-\theta}C_1^{\theta}\norm G_\F
\leq C_0^{1-\theta}C_1^{\theta}(\norm x_\theta+\e)
$$
$\eofproof$
Ist $x^*\in X_0^*\cap X_1^*$ und $Y_0=Y_1=\C$, so folgt die
duale Interpolationsungleichung
\begin{equation}\label{kieq4}\tag{CIN5}
\forall\theta\in(0,1):\qquad
\norm{x^*}_\theta\leq\norm{x^*}_0^{1-\theta}\norm{x^*}_1^\theta.
\end{equation}
Der Interpolationssatz ist i.a nur dann hilfreich, wenn
die Interpolationsräume $X_\theta$ identifizierbar sind. Der
folgende Satz von Riesz-Thorin gestattet dies für den Fall da
$X_0=L_{p_0}(\mu)$ und $X_1=L_{p_1}(\mu)$. Wir benötigen hierfür
die Differenzierbarkeit von Abbildungen der Form $z\mapsto f^z$ für eine
positive, meßbare Funktion $f$: Falls
$$
\forall a < \Re z < b:\quad
\lim_{\e\rar0}\Big\Vert\sup_{|w|<\e}|f^{w}-1|f^z\log f\Big\Vert_p=0,
$$
dann ist die Abbildung $z\mapsto f^z$ von $[a < \Re z < b]$ in $L_p(\mu)$ komplex differenzierbar mit der Ableitung: $z\mapsto f^z\log f$.
$\proof$
1. Sei $f\in L_{p_0}(\mu)\cap L_{p_1}(\mu)$, $a(z)\colon=p((1-z)/p_0+z/p_1)$ und
$$
F(z)\colon=(|f|/\norm f_p)^{a(z)-1}f~.
$$
Dann ist $a(\theta)=1$ und für $t\in\R$: $\Re a(it)=p/p_0$ und
$\Re a(1+it)=p/p_1$. Damit erhalten wir erstens: $F(\theta)=f$ und zweitens
$$
|F(it)|^{p_0}=(|f|/\norm f_p)^{p-p_0}|f|^{p_0}
\quad\mbox{bzw.}\quad
|F(1+it)|^{p_1}=(|f|/\norm f_p)^{p-p_1}|f|^{p_1},
$$
also: $\norm{F(it)}_{p_0}^{p_0}=\norm f_p^{p_0}$ und
$\norm{F(1+it)}_{p_1}^{p_1}=\norm f_p^{p_1}$.
Daher ist $\norm F_{\F}=\norm f_p$ und folglich: $\norm f_\theta\leq\norm f_p$.
2. Sei $F\in\F$ mit $F(\theta)=f$ und Werten in $L_{p_0}(\mu)\cap L_{p_1}(\mu)$,
$g\in L_{p_0^*}(\mu)\cap L_{p_1^*}(\mu)$ und
$$
G(z)\colon=(|g|/\norm g_{p^*})^{b(z)-1}g~.
$$
wobei $b(z)\colon=p^*((1-z)/p_0^*+z/p_1^*)$ und $p^*$ den konjugierten
Exponenten bezeichnet, i.e. $1/p+1/p^*=1$. Dann ist
$$
H(z)\colon=\int F(z)G(z)\,d\mu
$$
analytisch auf $S$ und stetig und beschränkt auf $\cl S$ (cf. Übungen).
Ferner ist nach 1. $\norm G_\F=\norm g_{p^*}$ und damit
$$
|H(it)|
\leq\norm{F(it)}_{p_0}\norm{G(it)}_{p_0^*}
\leq\norm F_\F\norm g_{p^*}
$$
und analog:
$$
|H(1+it)|
\leq\norm{F(1+it)}_{p_1}\norm{G(1+it)}_{p_1^*}
\leq\norm F_\F\norm g_{p^*}
$$
Nach dem $3$-Linien Satz folgt daher:
$|H(\theta)|\leq\norm F_\F\norm g_{p^*}$ und damit:
$F(\theta)\in L_p(\mu)$ und $\norm f_p=\norm{F(\theta)}_p\leq\norm F_{\F}$.
$\eofproof$Bemerkung:
Genau genommen müssten wir prüfen,
daß die oben definierte Funktion $F$ nur Werte in $L_{p_0}(\mu)+
L_{p_1}(\mu)$ annimmt; dies ist zwar tatsächlich der Fall, aber diese
überprüfung ist auch irgendwie überflüssig, denn es reicht die
Ungleichung $\norm f_\theta\leq\norm f_p$ für eine in $L_p(\mu)$
dichte Familie von Funktionen $f$ zu zeigen; man kann also z.B. ohne weiters
annehmen, daß $f$ für alle $r\in[1,\infty]$ in $L_r(\mu)$ liegt.
Für $x\in\C^n$ setze $F(z)\colon=A^{(\theta-z)/2}x$, dann ist $F(\theta)=x$ und da für alle $t\in\R$ der Operator $A^{it}$ eine Isometrie auf $X_0$ ist, folgt:
\begin{eqnarray*}
\norm{F(it)}_0^2
&=&\la A^{(\theta-i)/2}x,A^{(\theta-it)/2}x\ra\\
&=&\la A^{it/2}A^{\theta/2}x,A^{it/2}A^{\theta/2}x\ra\\
&=&\la A^{\theta/2}x,A^{\theta/2}x\ra
=\la x,A^{\theta}x\ra
\end{eqnarray*}
und analog:
\begin{eqnarray*}
\norm{F(1+it)}_1^2
&=&\la A^{(\theta-1-it)/2}x,A^{(\theta-1-it)/2+1}x\ra\\
&=&\la A^{it/2}A^{(\theta-1)/2}x,A^{it/2}A^{(\theta+1)/2}x\ra\\
&=&\la A^{(\theta-1)/2}x,A^{(\theta+1)/2}x\ra
=\la x,A^{\theta}x\ra
\end{eqnarray*}
Damit folgt: $\norm x_\theta^2\leq\la x,A^{\theta}x\ra$.
Die umgekehrte Inklusion folgt aus der Beziehung \eqref{cineq6},
denn der Dualraum von $X_1$ ist isometrisch isomorph zu dem Raum $\C^n$ mit
dem inneren Produkt $\la x,y\ra_1^\prime\colon=\la x,A^{-1}y\ra$:
Ist $x^*:X_1\rar\C$ linear, so gibt es genau ein $z\in X_1$, so daß
$x^*(x)=\la x,z\ra_1=\la x,Az\ra$ und $\norm{x^*}=\norm z_1$.
Setzen wir $y\colon=Az$, so folgt: $x^*(x)=\la x,y\ra$ und
$$
\norm y_1^\prime
=\la y,A^{-1}y\ra^{1/2}
=\la Az,z\ra^{1/2}
=\norm z_1
$$
Da für $f_0(x)\colon=x^{-1/2}$:
$Af_0=2f_0$ und $A^*f_0=2f_0$, folgt nach dem
Schur-Test:
$$
\norm{A:L_2(\R^+)\rar L_2(\R^+)}\leq2~.
$$
Nach Lemma und Satz
gilt daher für alle $2\leq p\leq\infty$:
$$
\norm{A:L_p(\R^+)\rar L_p(\R^+)}\leq2^{2/p}~.
$$
$\proof$
Sei $f\in C_c^\infty(\C)$ analytisch in einer Umgebung von $K$.
Nach der Greenschen Formel gilt dann:
$$
\forall z\in\C:\qquad
f(z)=-\frac1{\pi}\int_\C\frac{\pa_{\bar w}f(w)}{w-z}\,\l(dw)
=-\frac1{\pi}\int_{K^c}\frac{\pa_{\bar w}f(w)}{w-z}\,\l(dw)~.
$$
Sei $\mu\in M(K)=C(K)^*$ ein zu $A(\O)$ orthogonales komplexes Maß,
i.e. für alle $g\in A(\O)$ gilt: $\int_K g(z)\,\mu(dz)=0$. Dann folgt:
\begin{eqnarray*}
\int_K f(z)\,\mu(dz)
&=&-\frac1{\pi}\int_{K^c}\int_K\frac{\pa_{\bar w}f(w)}{w-z}\,\l(dw)\,\mu(dz)\\
&=&-\frac1{\pi}\int_{K^c}u(w)\pa_{\bar w}f(w)\,\l(dw)
\end{eqnarray*}
wobei $u(w)\colon=\int_K(w-z)^{-1}\,\mu(dz)$ auf $K^c$ analytisch ist.
Sei $r\colon=\sup\{|w|:w\in K\}$, dann folgt für $|w| > r$:
$$
(w-z)^{-1}=w^{-1}(1-z/w)^{-1}=w^{-1}\sum_{j=0}^\infty(z/w)^j
$$
und die Reihe konvergiert für $z\in K$ gleichmäßig; also:
$$
u(w)=w^{-1}\int_\C\sum_{j=0}^\infty(z/w)^j\,\mu(dz)
=w^{-1}\sum_{j=0}^\infty\int_\C(z/w)^j\,\mu(dz)
=0
$$
Somit verschwindet $u$ auf jeder Zusammenhangskomponente von $K^c$, die
einen Punkt $w$ mit $|w|>r$ enthält; da $K^c$ unbeschränkt und
zusammenhängend ist, folgt für alle $w\in K^c$: $u(w)=0$
und damit: $\int_K f\,d\mu=0$.
$\eofproof$
Der Beweis zeigt, daß jedes endliche komplexe Maß $\mu$ auf $K$,
das orthogonal zu den Polynomen ist - d.h. es gilt für alle $j\in\N_0$:
$\int_K z^j\,\mu(dz)=0$ - auch zu allen in einer Umgebung von $K$
analytischen Funktionen orthogonal ist. Wir erhalten daher folgendes
$\proof$
Für alle $n\in\N$ erhalten wir aus der Summenformel für die geometrische Reihe:
$$
(1-p_n^{-z})^{-1}=\sum_{j=0}^\infty p_n^{-jz}
$$
und damit für alle $N\in\N$ nach Fubini:
$$
\prod_{n=1}^N(1-p_n^{-z})^{-1}
=\sum_{j_1,\ldots,j_N=0}^\infty
(p_1^{j_1}\ldots,p_N^{j_N})^{-z}~.
$$
In dieser Summe sind aber aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung keine zwei Summanden gleich und es kommen sämtliche Zahlen vor, die sich als Produkt von Potenzen der Primzahlen $p_1,\ldots,p_N$ schreiben lassen.
$\eofproof$
Da das Produkt $\prod_{j\leq n}(1-p_j^{-z})$ auf $\Re z > 1$ kompakt
konvergiert, besitzt die Zetafunktion auf $\Re z>1$ keine Nullstellen
und damit ist auch $1/\z(z)$ auf $\Re z>1$ analytisch.
$\proof$
Es gilt nach der Summenformel für die geometrische Reihe:
$$
-\frac{\z^\prime(z)}{\z(z)}
=\sum_{p\in P}\frac{\log p}{p^z}\frac1{1-p^{-z}}
=\sum_{p\in P}\frac{\log p}{p^z}\sum_{k=0}^\infty p^{-kz}
=\sum_{p\in P}\sum_{k=1}^\infty\frac{\log p}{p^{kz}}
$$
$\eofproof$
$\proof$
Sei $k\in\N_0$ die größte Zahl, für die gilt: $p^k\leq x$, dann
ist $k=[\log x/\log p]$, also folgt:
$$
\psi(x)
=\sum_{p\leq x}[\log x/\log p]\log p
\leq\sum_{p\leq x}\log x
=\pi(x)\log x~.
$$
Ist $t\leq x$, so gilt:
$$
\pi(x)-\pi(t)
=\sum_{t < p\leq x}1
\leq\sum_{t < p\leq x}\log p/\log t
\leq\psi(x)/\log t
$$
und damit $\pi(x)\leq\pi(t)+\psi(x)/\log t$, also:
$$
\frac{\pi(x)\log x}x
\leq\frac{\pi(t)\log x}x+\frac{\psi(x)\log x}{x\log t}~.
$$
Setzen wir $t=x/\log^2x$, so folgt die Behauptung aus $\pi(t)\leq t$.
2. Dies folgt aus $\lim_{x\to\infty}\log x/\log(x/\log^2x)=1$.
$\eofproof$
Riemann's functional equation
Nach der Perronschen Formel erhalten wir:
\begin{equation}\label{rzfeq1}\tag{RZF1}
\psi(x)=-\frac1{2\pi i}\int_c\frac{\z^\prime(z)}{\z(z)}\frac{x^z}z\,dz
\end{equation}
wobei wir $c:\R\rar\C$ die Kurve $c(t)=a+it$ mit $a > 1$, denn nur dort haben wir bislang die Zetafunktion definiert.
Wir wollen nun $c$ zu einem geschlossenen Integrationswege ergänzen und dann das Integral \eqref{rzfeq1} mittels des Residuensatzes auswerten. Diese Erweiterung soll möglichst so geschehen, daß die angefügten Kurventeile für das geschlossene Kurvenintegral letztlich keinen Beitrag liefern; dafür gibt es zwei offensichtliche Möglichkeiten: die Erweiterung nach rechts hat zwar den Vorteil, daß $\z$ dort bereits definiert ist, der Fakor $x^z$ geht jedoch exponentiell gegen Unendlich geht. Für die Fortsetzung nach links konvergiert dieser Faktor dagegen exponentiell gegen $0$, nur müssen wir $\z$ dort noch definieren. Ausgehend von Unterabschnitt zeigen wir daher ein Resultat von Riemann, demzufolge die Zetafunktion eine meromorphe Funktion auf $\C$ mit dem Pol $1$ ist - genauer:
$$
\z(z)-\frac1{z-1}
$$
ist eine ganze Funktion.
$\proof$
Wir beginnen mit der Integraldarstellung in Unterabschnitt, verlagern jedoch den Integrationsweg wie in der Hankelschen Darstellung der Gammafunktion, nur daß wir diesmal den am Nullpunkt gespiegelten Weg betrachten. Sei also $h$ jener Weg, der von $\infty+i0$ nach $1+i0$ führt, dann entlang des Einheitskreies $\g$ bis $1-i0$ gegen den Uhrzeigersinn verläuft und schließlich nach $\infty-i0$ zurückkehrt.
Da die Funktion $w\mapsto (-w)^{z-1}/(e^w-1)$ auf $(1+\e)D\sm\R_0^+$ analytisch ist und
$$
\int_{\infty+i0}^{i0}\frac{e^{(z-1)\log(-w)}}{e^w-1}\,dw
=-e^{-(z-1)i\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t-1}\,dt
$$
sowie
$$
\int_{-i0}^{-i0+\infty}\frac{e^{(z-1)\log(-w)}}{e^w-1}\,dw
=e^{(z-1)i\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t-1}\,dt
$$
folgt analog zur Hankelschen Darstellung der Gammafunktion für $\Re z > 1$:
$$
\int_{h}\frac{(-w)^{z-1}}{e^w-1}\,dw
=-2i\sin(\pi z)\G(z)\z(z)~.
$$
Nach der Ergänzungsformel der Gammafunktion ist $\sin(\pi z)\G(z)=\pi/\G(1-z)$, also:
\begin{equation}\label{zetaeq3}\tag{RZF2}
\z(z)=-\frac{\G(1-z)}{2\pi i}\int_{h}\frac{(-w)^{z-1}}{e^w-1}\,dw~.
\end{equation}
Dadurch ist aber eine auf $\C\sm\{1\}$ analytische Funktion definiert: die $(n-1)$-fachen Nullstellen des Integrals
$$
\int_{h}\frac{(-w)^n}{e^w-1}\,dw
=(-1)^n\int_{\g}\frac{w^n}{e^w-1}\,dw
$$
an den Stellen $1-z\in-\N$, also $z=n\in\{2,3,\ldots\}$ heben die einfachen Pole der Gammafunktion an den Stellen $1-z\in\{-1,-2,\ldots\}$ auf!
Zum Beweis der Funktionalgleichung betrachten wir einen Weg $c_n$, der von $\infty+i0$ nach $(2n+1)\pi+i0$ führt, dann entlang des Quadrates mit den Eckpunkten $(2n+1)\pi(\pm1\pm i)$ bis $(2n+1)\pi-i0$ gegen den Uhrzeigersinn verläuft und schließlich wieder nach $\infty-i0$ zurückkehrt.
Nach dem Residuensatz ist wegen $(-i)^{z-1}+(i^{z-1})=2\cos(\pi(z-1)/2)=2\sin(\pi z/2)$:
$$
\int_{c_nh^{-1}}\frac{(-w)^{z-1}}{e^w-1}\,dw
=2\pi i\sum_{|k|\leq n}(-2\pi ki)^z
=4\pi i\sin(\pi z/2)(2\pi)^{z-1}\sum_{1\leq k\leq n}k^{z-1}
$$
Für $\Re z < 0$ konvergiert erstens das Integral über $c_n$ mit $n\to\infty$ gegen $0$ und die Summe gegen $\z(1-z)$, also:
$$
\int_{h}\frac{(-w)^{z-1}}{e^w-1}\,dw
=-4\pi i\sin(\pi z/2)(2\pi)^{z-1}\z(1-z)~.
$$
und damit nach (\ref{zetaeq3}):
$$
\z(z)=2^z\sin(\pi z/2)\G(1-z)\pi^{z-1}\z(1-z)
$$
Hierin drücken wir $\G(1-z)$ wiederum durch die Ergänzungsformel der Gammafunktion $\G(1-z)=\pi/\sin(\pi z)\G(z)$ aus und erhalten
$$
\z(z)=
2\pi^{1/2}\sin(\pi z/2)
\pi^{z-1}
\z(1-z)
\pi/\sin(\pi z)2^{1-z}\pi^{1/2}\G(z)~;
$$
nun benutzen wir die Duplikationsformel: $\G(z/2)\G((z+1)/2)=2^{1-z}\pi^{1/2}\G(z)$:
$$
\z(z)=
2\pi^{1/2}\sin(\pi z/2)
\pi^{z-1}
\z(1-z)
\pi/\sin(\pi z)\G(z/2)\G((z+1)/2)
$$
und schließlich benutzen wir neuerlich die Ergänzungsformel der Gammafunktion sowie $\sin(2w)=2\sin w\cos w$:
$$
\pi^{-z/2}\z(z)\G(z/2)=
\G((1-z)/2)\pi^{(z-1)/2}\z(1-z)
$$
2. $\z$ besitz nach der Eulerschen Darstellung auf $\Re z > 1$ keine Nullstellen; nach der Funktionalgleichung besitzt daher $\z$ auf $\Re z < 0$ außer den trivialen Nullstellen keine weitere Nullstelle. Für den Fall $\Re z=1$ cf. Proposition.
$\eofproof$
2. Nach exam ist
$$
\int_0^\infty t^{z/2-1}e^{-n^2\pi t}\,dt
=\pi^{-z/2}\G(z/2)n^{-z}~.
$$
Zeigen Sie mithilfe der Poissonschen Summenformel, daß für alle $y > 0$
$$
\sum_{n\in\Z}e^{-n^2\pi/y}
=\sqrt y\sum_{n\in\Z}e^{-n^2\pi y}~.
$$
Folgern Sie, daß für alle $y > 0$ gilt:
$$
\vartheta(y)=y^{-1/2}\vartheta(1/y)+(y^{-1/2}-1)/2
$$
Die Fourier-Transformierte von $f(x)=e^{-x^2/4t}$ ist $\sqrt{4\pi t}e^{-ty^2}$. Die Behauptung folgt nun aus der Poissonschen Summenformel für $y=\pi t$:
$\proof$
1. Nach exam und exam gilt:
\begin{eqnarray*}
\pi^{-z/2}\G(z/2)\z(z)
&=&\int_0^1 t^{z/2-1}\vartheta(t)\,dt
+\int_1^\infty t^{z/2-1}\vartheta(t)\,dt\\
&=&\int_0^1\tfrac12 t^{z/2-3/2}\,dt
-\int_0^1\tfrac12 t^{z/2-1}\,dt
+\int_0^1t^{z/2-3/2}\vartheta(1/t)\,dt
+\int_1^\infty t^{z/2-1}\vartheta(t)\,dt
\end{eqnarray*}
Falls $\Re z > 1$, dann existiert die ersten zwei Integrale;
substituieren wir im dritten $t\to1/t$, so folgt:
$$
\pi^{-z/2}\G(z/2)\z(z)
=\frac1{z-1}-\frac1z
+\int_1^\infty(t^{-z/2-1/2}+t^{z/2-1})
\vartheta(t)\,dt~.
$$
2. Ersetzen wir auf der rechten Seite $z$ durch $1-z$, so
bleibt der Ausdruck unverändert.
$\eofproof$
Zeros of the Zeta function
Eine Auswertung des Integrals in \eqref{rzfeq1} hängt nach Satz mit den Polen bzw. Nullstellen der Zetafunktion zusammen: Zunächst ersetzen wir den Integrationsweg $c$ in der Beziehung \eqref{rzfeq1} durch einen geschlossenen rechteckigen Weg $c_n$ durch die Eckpunkte: $a-in,a+in,-n+in$ und $-n-in$ - dies ist nun möglich, da wir $\z$ auf $\C\sm\{1\}$ definiert haben. Für $1\ll x$ konvergieren dann die Integrale über den oberen, den unteren und den linken Teil des Wegs mit $n\to\infty$ gegen $0$, also ist das Integral über $c$ dasselbe wie $\lim_{n\to\infty}\int_{c_n}$. Da die Funktion $\z^\prime(z)x^z/\z(z)z$ bei $0$ das Residuum $\z^\prime(0)/\z(0)$ besitzt und $\z$ bei $1$ einen Pol der Ordnung $1$, erhalten wir unter der Annahme, daß sämtliche Nullstellen der Zetafunktion einfach sind:
$$
\frac{\psi(x)}x
=1-\frac{\z^\prime(0)}{\z(0)x}
-\frac1x\sum_{w\in N}\frac{x^{w}}{w}+\frac1x\sum_{n\geq1}\frac{x^{-2n}}{2n},
$$
wobei $N$ die Menge der Nullstellen im kritischen Streifen $0 < \Re z < 1$ bezeichnet. Die Kenntnis der nicht trivialen Nullstellen von $\z$ ist daher von entscheidender Bedeutung für die Abschätzung des Fehlerterms!
Sei $w\in N$, dann ist auch $1-w$ eine Nullstelle und mit $w=a+ib=|w|e^{i\theta}$, $0 < a < 1$, folgt:
\begin{eqnarray*}
\Re(x^{w-1}+x^{-w})
&=&\Re(x^{a+ib-1}+x^{-a-ib})
=(x^{a-1}+x^{-a})\cos(b\log x)\\
&\geq&2t^{-1/2}\cos(b\log x)
=\Re(x^{ib-1/2}+x^{-1/2-ib})
\end{eqnarray*}
und somit erhalten wir nach Integration:
$$
\Re\Big(\frac{x^{w}}w+\frac{x^{1-w}}{1-w}\Big)
\geq\Re\Big(\frac{x^{1/2+ib}}{\frac12+ib}+\frac{x^{\frac12-ib}}{1/2-ib}\Big)
=\frac2{\sqrt x}\Re\frac{x^{ib}}{\frac12+ib}~.
$$
Die Riemannsche Vermutung besagt, daß sämtliche nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion den Realteil $1/2$ besitzen.
$\proof$
1. Nach der Eulerschen Darstellung der Zetafunktion ist
$$
\log\z(x+iy)
=\sum_p\sum_k\frac1{kp^{x+iy}}
=\sum_p\sum_k\frac{\cos(ky\log p)-i\sin(ky\log p)}{kp^{kx}}
$$
also:
$$
|\z(x+iy)^a|
=\exp\Big(\sum_{p\in P}\sum_{k\in\N}\frac{a\cos(ky\log p)}{kp^{kx}}\Big)~.
$$
2. Da $\cos(2\a)=2\cos^2(\a)-1$, folgt:
$$
a+b\cos\a+\cos(2\a)
=2\cos^2\a+b\cos\a+a-1
=2(\cos\a+b/4)^2-b^2/8+a-1~.
$$
4. $\z$ besitzt auf $\Re z > 1$ keine Nullstellen. Angenommen es gibt ein $y > 0$,
so daß $\z(1+iy)=0$, dann folgt aus 3. für z.B. $b=4$ und $a=3$, daß
die Funktion
$$
f(z)\colon=\z(z)^3\z(z+iy)^4\z(z+2iy)
$$
in einer Umgebung von $z=1$ analytisch ist - der erste Faktor besitzt dort
einen Pol der Ordnung $3$ und der zweite eine Nullstelle mit einer Vielfachheit
größer oder gleich $4$ - mit $f(1)=0$. Dies widerspricht jedoch 3.
Angenommen es gibt ein $z\in\C$ mit $\Re z\leq0$ und $z\notin\{-2,-4,\ldots\}$,
so daß $\z(z)=0$, dann folgt aus der Riemannschen Funktionalgleichung,
daß $\z(1-z)=0$; nun ist aber $\Re(1-z)\geq1$.
$\eofproof$
