Sei $\O$ ein einfach zusammenhängendes, relativ kompaktes Gebiet mit glattem Rand $\pa\O$, $z_0\in\O$ und $G_0:\O\rar\R$ harmonisch, so daß für alle $z\in\pa\O$: $G_0(z)=-\log|z-z_0|$. Die Funktion $$ G(z)\colon=\log|z-z_0|+G_0(z) $$ nennt man eine Greensche Funktion für $\O$. Zeigen Sie:
  1. $G$ ist auf $\O\sm\{z_0\}$ harmonisch und es gilt $G|\pa\O=0$.
  2. Sei $H_0$ die zu $G_0$ konjugierte harmonische Funktion und $$ F(z)\colon=(z-z_0)\exp(G_0(z)+iH_0(z))~. $$ Dann ist $F:\O\rar\C$ analytisch und es gilt: $F(\pa\O)\sbe S^1$ und $F(\O)\sbe D$.
  3. Ist $F:\pa\O\rar S^1$ stetig differenzierbar, so verschwindet ihre Ableitung in keinem Punkt und folglich ist $F:\pa\O\rar S^1$ surjektiv.
  4. $F:\O\rar D$ ist bijektiv.
Für $z\in\O$ ist \begin{eqnarray*} F(z) &=&\exp(\log|z-z_0|+G_0(z)+i(H_0(z)+\arg(z-z_0))\\ &=&\exp(G(z)+i(H_0(z)+\arg(z-z_0)) \end{eqnarray*} und da $G|\pa\O=0$, folgt: $|F|\pa\O|=1$. Da $F$ analytisch ist, folgt nach dem Lemma von Schwarz: $F(\O)\sbe D$.
3. Seien $f\colon=F|\pa\O$ und $H(z)\colon=H_0(z)+\arg(z-z_0)$, dann ist $F=e^{G+iH}$ und da $G|\pa\O=0$: $f=e^{iH}$. Angenommen es gibt ein $p=a+ib\in\pa\O$, so daß $f^\prime(p)=0$. Ist $w\in T_p\pa\O$ ein Einheitsvektor, so bedeutet dies: $$ 0=D^\R F(p)w=iF(p)D^\R H(p)w $$ i.e. $D^\R H(p)w=0$. Nach den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (\ref{rvceq4aa}) gilt aber $\pa_zH=-i\pa_zG$ und $\pa_{\bar z}H=i\pa_{\bar z}G$, also: $$ D^\R H(p)w =\pa_z H(p)w+\pa_{\bar z}H(p)\bar w =-i\pa_z G(p)w+i\pa_{\bar z}G(p)\bar w =D^\R G(p)(-iw) $$ i.e. die Ableitung von $G$ in Richtung der Normalen zu $\pa\O$ im Punkt $p$ verschwindet. Da $G$ auf $\O\sm\{z_0\}$ harmonisch ist, $G(z_0)=-\infty$ und $G|\pa\O=0$, nimmt $G$ in jedem Randpunkt ihr Maximum $0$ an. Nach dem erweiterten Maximumprinzip (Zaremba Prinzip) verschwindet die Ableitung von $G$ in Richtung der Normalen zu $\pa\O$ in keinem Punkt $p\in\pa\O$. Somit ist $f:\pa\O\rar S^1$ offen und da $\pa\O$ und $S^1$ kompakt und zusammenhängend sind, ist $f$ surjektiv.
4. Sei $c(I)=\pa\O$; nach Satz ist für alle $w\in D$ die Windungszahl von $F\circ c$ bezüglich $w$ die Anzahl der Lösungen $z\in\O$ der Gleichung $F(z)=w$. Da $z_0$ eine einfache Nullstelle von $F$ ist, ist nach Satz sowie dem Residuensatz: $$ \ind(0,F\circ c) =\frac1{2\pi i}\int_c\frac{F^\prime(z)}{F(z)}\,dz =1 $$ und da $w\mapsto\ind(w,F\circ c)$ auf jeder Zusammenhangskomponente von $F(c(I))^c$ konstant ist, besitzt die Gleichung $F(z)=w$ für alle $w\in D$ genau eine Lösung in $\O$, i.e. $F:\O\rar D$ ist bijektiv.