Sei $f:D\rar\C$ komplex differenzierbar, dann ist (cf. exam): $$ M:r\mapsto\int_0^{2\pi}\log|f(re^{it})|\,dt \quad\mbox{monoton steigend.} $$
Seien zu $\e > 0$: $g(w)=\log(w\bar w+\e)^{1/2}$ und $u(z)\colon=g(f(z))$, dann folgt nach der Kettenregel wegen $\pa_{\bar z}f=0$: $\pa_z u=\pa_zg(f(z))\pa_zf(z)$ und $$ \pa_{\bar z}\pa_z u =\pa_{\bar z}\pa_z g(f(z))|f^\prime(z)|^2 $$ Da $\pa_{\bar z}\pa_z g=\frac12\e(|z|^2+\e)^{-2}\geq0$, erhalten wir nach der Stokesschen Formel: \begin{eqnarray*} M^\prime(r) &=&\int_0^{2\pi}\pa_z u(re^{it})e^{it}+\pa_{\bar z}u(re^{it})e^{-it}\,dt\\ &=&-ir^{-1}\int_{\pa D_r}\pa_z u\,dz-\pa_{\bar z}u\,d\bar z =4r^{-1}\int_{D_r}\pa_z\pa_{\bar z}u(z)\,\l(dz)\geq0 \end{eqnarray*}