Sei $(X_0,X_1)$ ein kompatibles Paar, dann ist $\F(X_0,X_1)$ ein Banachraum.
Ist $F_n$ eine Cauchy-Folge in $\F(X_0,X_1)$, so folgt nach dem $3$-Linien Satz: $\sup_{z\in S}\norm{F_n(z)-F_m(z)}_+\leq\norm{F_n-F_m}_\F$. Somit konvergiert $F_n$ gegen eine auf $S$ analytische Funktion $F$, die auf $\cl S$ stetig und beschränkt ist.