Examen Funktionentheorie (Complex Analysis) SS24

Question: Why is the reciprocal of the gamma function an entire function?

ChatGPT: The reciprocal of the gamma function, $1/\G(z)$, is an entire function because the gamma function has no zeroes in the complex plane. This means that $1/\G(z)$ can be defined for all complex numbers $z$ without any singularities or branch points. Therefore, the reciprocal of the gamma function is an entire function.

Flaws: That's trivially true. However it doesn't explain why the gamma function has no zeros.

Question: Why has the gamma function no zeros?

ChatGPT: The gamma function has no zeroes in the complex plane because its poles (which are the values of z where the function is undefined) cancel out with its zeroes (which are the values of z where the function is equal to zero). Specifically, the gamma function has simple poles at the non-positive integers (z = 0, -1, -2, ...) but also has simple zeroes at the negative integers (z = -1, -2, -3, ...). Since the poles and zeroes cancel out, the function does not have any zeroes in the complex plane and is defined for all complex numbers.

Flaws: That looks like an educated answer, but it doesn't say anything!

The answer should be something like this: Gauss' product representation of the gamma function extends the original definition of $\G(z)$ for $\Re z > 0$ to the whole complex plane $\C$. Since the reciprocal of this infinite product converges pointwise in $\C$ its limit must be an entire function by Proposition.

1. Bestimmen Sie zu $n\in\N$ die Menge aller $z\in\C$ für die gilt: $|z^n/n!|=\sup\{|z^k/k!|:k\in\N\}$.
   Sei $X$ ein metrischer Raum, $r > 0$ und $A$ eine zusammenhängende Teilmenge von $X$. Falls alle offenen Kugeln $B_r(x)$ zusammenhängend sind, dann ist auch $A_r\colon=\{x\in X:d_A(x) < r\}$ zusammenhängend.
   Zeigen Sie, daß die Menge $\bK$ aller reellen $2\times2$-Matrizen $A$ mit $a_{11}=a_{22}$ und $a_{21}=-a_{12}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen ein zu $\C$ isomorpher Körper ist.
   Sei $w=a+ib$, so daß $|w|=1$, $z_0\in\C$ und $g$ die Gerade $\{z\in\C:\Re((z-z_0)\bar w)=0\}$. Dann ist die Spiegelung $R_g$ an $g$ die Abbildung $z\mapsto-w^2(\bar z-\bar z_0)+z_0$.
   Sei $f:\C^2\rar\C^2$ die Abbildung $(z,w)\mapsto(z^3-w^3,zw)$. In welchen Punkten $(z,w)\in\C^2$ ist $f$ ein lokaler Diffeomorphismus?
   Sei $\O\sbe\C$ ein Gebiet und $f:\O\rar\C$ komplex differenzierbar, so daß $\Im f=0$. Zeigen Sie: $f$ ist konstant.
2. Sei $a > 0$. In welchen Punkten $(r,\vp,\theta)\in\R^+\times(-\pi,\pi)\times(-\pi/2,\pi/2)$ ist die Abbildung $$ F:(r,\vp,\theta)\mapsto ((r^2+a^2)^{1/2}\cos\vp\cos\theta, (r^2+a^2)^{1/2}\sin\vp\cos\theta, r\sin\theta) $$ ein lokaler Diffeomorphismus? Man nennt $(r,\vp,\theta)$ abgeplattete sphärische Koordinaten, cf. e.g. wikipedia.
   Sei $A\in L(X)$. Zeigen Sie für alle $x\in X$: $$ e^{tA}x=\sum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}A^kx+\int_0^t\frac{(t-s)^n}{n!}e^{sA}A^{n+1}x\,ds~. $$ 2. Falls für alle $t > 0$: $\norm{e^{tA}}\leq1$, dann gilt für alle $x\in X$: $\norm{Ax}^2\leq4\Vert x\Vert\Vert A^2x\Vert$. Hinweis: Setzen Sie in der obigen Beziehung $n=1$ und wählen Sie ein optimales $t > 0$.
   Es gibt ein $r > 0$ sowie eine bianalytische Abbildung $f:D_r\rar f(D_r)$, so daß für alle $z\in D_r$: $f(\cos(z)-1)=z^2$. Zeigen Sie ferner: $f(0)=0$, $f^\prime(0)=-2$ und $f^\dprime(0)=1/2$.
   Zeigen Sie für alle $z\in\C$: $$ \cos(z)=1-2\sin^2(z/2)~. $$
   Zeigen Sie: $\mu(dt)=\tfrac16e^{-t^{1/3}}\,dt$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\R^+$ und für kein $p\in[1,\infty)$ ist der Raum der Polynome dicht in $L_p(\mu)$.
   Seien $U\sbe\C$, $\O\sbe\C\sm\{0\}$ Gebiete, $\exp(U)\sbe\O$ und $\Log:\O\rar\C$ ein Logarithmus. Dann ist $z\mapsto\Log(\exp(z))-z$ auf $U$ konstant.
3. Berechnen Sie $\pa_zf$ und $\pa_{\bar z}f$ für $f(x,y)=\cos^2(x+iy^2)$.
   Bestimmen Sie die Euler-Lagrangesche Feldgleichung für ${\cal L}(z,x,w)=|z|^2-|w_0|^2+\sum_{j=1}^n|w_j|^2$.
   Anti-holomorphe Abbildungen sind konform.
   Die Abbildung $F:z\mapsto i(1+z)/(1-z)$ bildet den offenen Einheitskreis $D$ bianalytisch auf $H^+\colon=[\Im z > 0]$ ab. Bestimmen Sie: $F(\pa D)$.
   Sei $n\geq3$. Zeigen Sie, daß für alle $y\in\R^n$ die Funktion $x\mapsto\norm{x-y}^{2-n}$ auf $\R^n\sm\{0\}$ harmonisch ist.
   Sei $D$ der Dirac-Operator auf $\R^2$, $u\colon=(u_1,u_2):\O(\sbe\C)\rar\C^2$ eine Lösung der Gleichung $\pa_tu+iDu=0$. Dann sind $u_1$ und $u_2$ Lösungen der homogenen Wellengleichung $\pa_t^2u_j+\D u_j=0$ und die Funktion $t\mapsto\norm{u(t)}^2$ ist konstant. Sind umgekehrt $u_1,u_2$ Lösungen der homogenen Wellengleichung und $u\colon=(u_1,u_2)$, so ist $w\colon=\pa_tu-iDu$ eine Lösung der Gleichung $\pa_tw+iDw=0$.
4. Integrieren Sie $f(z)\colon=e^{-z^2}$ längs des Rechteckes mit den Eckpunkten $n,n+iy,-n+iy,-n$ und zeigen Sie mithilfe des Cauchyschen Integralsatz, daß für alle $y\in\R^+$: $$ \int_\R e^{-t^2}\cos(2ty)\,dt=e^{-y^2}\int_\R e^{-t^2}\,dt~. $$
   Sei $a\in\C\sm\{0\}$ mit $0\leq\Im a\leq\Re a$, also $a=re^{i\theta}$ mit $0\leq\theta\leq\pi/4$. Ferner seien $c_1(t)=ne^{it}$, $t\in(0,\theta)$, $c_2(t)=at$, $t\in(0,n)$ und $c_3(t)=t$, $t\in(0,n)$ Zeigen Sie mithilfe des Cauchyschen Integralsatzes: $$ \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^ne^{-(at)^2}\,dt =\frac1a\int_\R e^{-t^2}\,dt~. $$ 2. Folgern Sie: $$ \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n \sin(t^2)\,dt =\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n \cos(t^2)\,dt =\frac1{\sqrt2}\int_\R e^{-t^2}\,dt =\sqrt{\frac{\pi}2}~. $$
   Zeigen Sie, daß die Funktion $z\mapsto\bar z$ auf keiner offenen Teilmenge $U$ von $\C$ eine Stammfunktion besitzt.
   Sei $\O_n$ eine monoton steigende Folge einfach zusammenhängender Gebiete. Zeigen Sie, daß $\O\colon=\bigcup\O_n$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist.
   Sei $c$ eine glatte Kurve in $\C\sm\{0\}$ und $k$ die Kurve $k(s)=c(s)/|c(s)|$. Dann gilt: $\ind(0,c)=\ind(0,k)$.
   Bestimmen Sie den Hauptteil der Funktion $z\mapsto z^4/(z-1)^3$ im Punkt $1$.
5. Bestimmen Sie die Laurent-Reihe der Funktion $\exp(z+1/z)$.
   Seien $n,m\in\N$ mit $\gcd(n,m)=1$ und $k\in\N$. Bestimmen Sie das Residuum der Funktion $f:z\mapsto1/(1-z^n)(1-z^m)z^{k+1}$ in allen Polen $w\neq0$ und zeigen Sie: $$ \Res(0,f)=|\{(a,b)\in\Z:\,am+bn=k\}|~. $$
   Sei $f^\prime(z)=v_0+\sum_{k=1}^\infty a_kz^{-k}$ das komplexe Potential einer stationären Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit, i.e. konstanter Dichte $\r$. Berechnen Sie die Kraft $F$ sowie das Drehmoment $M$ (bezüglich des Nullpunktes) auf einen Körper, der den Nullpunkt enthält.
   Berechnen Sie für $a,b > 0$ und $m\in\N$: $$ \int_\R\frac1{(a+bt^2)^m}\,dt $$
   Berechnen Sie: $$ \int_0^\infty\frac{\log t}{1+t^3}\,dt~. $$
   Sei $p(z)=(z-z_1)\cdots(z-z_n)$ ein Polynom mit $z_1,\ldots,z_n\notin\R_0^+$. Berechnen Sie für $0 < a < n-1$ $$ \int_{0}^\infty\frac{t^{a-1}}{p(t)}\,dt $$
6. Seien $\theta\in(0,\pi/2)$, $a\in(0,1)$, $x > 0$ und $c$ eine Parametrisierung des Randes von $\O_\theta\colon=\{z\in\C:|\arg(z)|\leq\theta\}$. Berechnen Sie: $$ J(a,\theta,x) \colon=\frac1{2\pi i}\int_c\frac{z^{-a}}{z-x}\,dz $$
   Zeigen Sie für $0 < x < 2$: $$ \pv\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{t^2-1}\,dt=-\frac12\pi\cot(x\pi/2) $$
   Sei $U$ eine Umgebung von $[\Im z\geq0]$, $E\sbe U$ isoliert und $f:U\sm E\rar X$ komplex differenzierbar, so daß $\lim_{z\to\infty}f(z)=0$ und $f$ in $E\cap\R$ Pole der Ordnung $1$ besitzt. Zeigen Sie, daß für alle $y > 0$: $$ \pv\int_\R f(x)e^{ixy}\,dx =\pi i\sum_{z\in E\cap\R}e^{iyz}\Res(z,f) +2\pi i\sum_{z\in E\sm\R}e^{iyz}\Res(z,f)~. $$ Die Residuen an den reellen Polen zählen also nur zur Hälfte!
   Sei $p$ ein Polynom $n$-ten Grades mit den paarweise verschiedenen Nullstellen $\l_1,\ldots,\l_n\in\C$. Bestimmen Sie die distributionelle Fourier-Transformierte von $1/p(x)$.
   Zeigen Sie, daß die Gleichung $e^z=1+2z$ auf $D\colon=[z < 1]$ genau eine Lösung besitzt.
   [Rouché] Sei $\O\sbe\C$ einfach zusammenhängend, $f,g:\O\rar\C$ komplex differenzierbar und $N_f$ bzw. $N_g$ die Nullstellen von $f$ bzw. $g$ auf $\O$. Ist dann $c:I\rar\O\sm N_f$ eine geschlossene, stückweise glatte Kurve und gilt für alle $z\in c(I)$: $|g(z)-f(z)| < |f(z)|+|g(z)|$, so besitzt $g$ auf $c(I)$ keine Nullstelle und es gilt: $$ \ind(0,f\circ c)=\ind(0,g\circ c)~. $$ Hinweis: die Voraussetzungen implizieren, daß für alle $z\in c(I)$: $g(z)/f(z)\notin\R_0^-$.