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Anhang

Interpolationssätze

Seien $1\leq p_0 < p_1\leq\infty$, dann ist $L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu)$ mit $$ \Vert f\Vert_+\colon=\inf\{\norm{f_0}_{p_0}+\norm{f_1}_{p_1}:\,f_0\in L_{p_0}(\mu),f_1\in L_{p_1}(\mu),f_0+f_1=f\} $$ ein normierter Raum.
  1. Ist $f_n$ eine Folge in $L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu)$ mit $\sum\norm{f_n}_+ < \infty$, dann konvergiert $\sum f_n$ in $L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu)$. Insbesondere ist $(L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu),\Vert.\Vert_+)$ ein Banachraum.
  2. Ist $p_0\leq p\leq p_1$, $f\in L_p(\mu)$ und $t > 0$, so liegen $f_0\colon=fI_{[|f| > t]}$ bzw. $f_1\colon=fI_{[|f|\leq t]}$ in $L_{p_0}(\mu)$ bzw. $L_{p_1}(\mu)$; es gilt also: $L_p(\mu)\sbe L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu)$.
Seien $1\leq p_0,p_1\leq\infty$ und $1\leq q_0,q_1\leq\infty$. Ferner sei $T:L_{p_0}(\mu)+L_{p_1}(\mu)\rar L_0(\nu)$ ein linearer Operator, so daß $$ \tnorm{T:L_{p_0}(\mu)\rar L_{q_0}(\nu)}\leq M_0 \quad\mbox{und}\quad \tnorm{T:L_{p_1}(\mu)\rar L_{q_1}(\nu)}\leq M_1~. $$ Dann gilt für alle $0\leq\theta\leq1$: $$ \tnorm{T:L_{p}(\mu)\rar L_{q}(\nu)} \leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta \quad\mbox{wobei}\quad \frac1p=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1} \quad\mbox{und}\quad \frac1q=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}~. $$
Eine elementarerer Version hiervon:
Sei $T:\R^n\rar\R^n$ eine lineare Abbildung, so daß $$ \tnorm{T:\ell_1^n\rar\ell_1^n}\leq M_1 \quad\mbox{und}\quad \tnorm{T:\ell_\infty^n\rar\ell_\infty^n}\leq M_\infty $$ Dann gilt für alle $1\leq p\leq\infty$ mit $1/p+1/q=1$: $$ \tnorm{T:\ell_p^n\rar\ell_p^n} \leq M_1^{\frac1p}M_\infty^{\frac1q}~. $$
Sei $(t_{j,k})$ die Matrixdarstellung von $T$ bezüglich der kanonischen Basis, also $$ (Tx)_j=\sum_k t_{jk}x_k~. $$ Die beiden Voraussetzungen besagen dann, daß: $$ \sup_k\sum_j|t_{jk}|\leq M_1 \quad\mbox{und}\quad \sup_j\sum_k|t_{jk}|\leq M_\infty $$ Nach der Jensen Ungleichung folgt nun: \begin{eqnarray*} \norm{Tx}_p^p &=&\sum_j\Big|\sum_k t_{jk}x_k\Big|^p \leq\sum_j\Big(\sum_k|t_{jk}||x_k|\Big)^p\\ &=&\sum_j\Big(\sum_l|t_{jl}|\Big)^p \Big(\sum_k\frac{|t_{jk}|}{\sum_l|t_{jl}|} |x_k|\Big)^p \leq\sum_j\Big(\sum_l|t_{jl}|\Big)^{p-1} \sum_k |t_{jk}||x_k|^p\\ &\leq&\sum_jM_\infty^{p-1}\sum_k |t_{jk}||x_k|^p =M_\infty^{p-1}\sum_k\sum_j |t_{jk}||x_k|^p \leq M_\infty^{p-1}M_1\sum_k|x_k|^p~. \end{eqnarray*} Somit erhalten wir: $\norm{Tx}_p\leq M_1^{1/p}M_\infty^{1/q}\Vert x\Vert_p$.
Sei $S=\{z\in\C:0\leq\Re z\leq1\}$ und $T(z)$ ein Operator von $L_{p_0}(\mu)\cap L_{p_1}(\mu)$ in $L_{q_0}(\nu)+L_{q_1}(\nu)$ mit folgenden Eigenschaften:
  1. Für alle $f\in L_{p_0}(\mu)\cap L_{p_1}(\mu)$, $g\in L_{q_0^*}(\nu)\cap L_{q_1^*}(\nu)$ ist die Funktion $$ z\mapsto\int T(z)f\cdot g\,d\nu $$ auf dem Inneren von $S$ analytisch.
  2. Für alle $f\in L_{p_0}(\mu)\cap L_{p_1}(\mu)$ und alle $y\in\R$ gilt: $$ \norm{T(iy)f}_{q_0}\leq M_0\norm f_{p_0} \quad\mbox{und}\quad \norm{T(1+iy)f}_{q_1}\leq M_1\norm f_{p_1}~. $$
Dann gilt für alle $0\leq\theta\leq1$: $$ \norm{T_\theta:L_p(\mu)\rar L_q(\nu)} \leq M_0^{1-\theta}M^\theta \quad\mbox{wobei}\quad \frac1p=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1} \quad\mbox{und}\quad \frac1q=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}~. $$
Cf. e.g. Selected Theorems by E.M. Stein. Sei z.B. $K:\O\times\O\rar\R^+$ meßbar, $a < b$ und für $\Re z\in[a,b]$: $$ T(z)f(y)\colon=\int_{\O_1}K(x,y)^zf(x)\,\mu(dx)~. $$ Falls $\norm{T(a):L_{p_0}\rar L_{q_0}}\leq M_0$ und $\norm{T(b):L_{p_1}\rar L_{q_1}}\leq M_0$, dann gilt für alle $\theta\in[0,1]$ mit $c=(1-\theta)a+\theta b$: $$ \norm{T(c):L_{p_\theta}\rar L_{q_\theta}} \leq M_0^{1-\theta}M_1^\theta~. $$
Sei $1 < p <\infty$ und $T:L_1(\mu)+L_p(\mu)\rar L_0(\nu)$ ein Operator mit folgenden Eigenschaften:
  1. $\forall f\in L_1(\mu)$, $\forall g\in L_p(\mu)$: $|T(f+g)|\leq|Tf|+|Tg|$.
  2. $\forall f\in L_1(\mu)$, $\forall t > 0$: $\nu(|Tf| > t)\leq C_1\norm f_1/t$.
  3. $\forall f\in L_p(\mu)$, $\forall t >0$: $\nu(|Tf| > t)\leq(C_p\norm f_p/t)^p$.
Dann gilt für alle $1 < q < p$: $$ \norm{T:L_q(\mu)\rar L_q(\nu)} \leq\Big(\frac{2qC_1}{q-1} +\frac{2^pqC_p^p}{p-q}\Big)^{\frac1q}~. $$
$\proof$ Sei $f\in L_q(\mu)$ und $t > 0$; mit $g\colon=fI_{[|f| > t]}$ und $h\colon=fI_{[|f|\leq t]}$ folgt dann wegen $|g|\leq t^{1-q}|f|^q$ und $|h|^p\leq t^{p-q}|f|^q$: $$ \norm g_1=\int_{|f| > t}|f|\,d\mu\leq t^{1-q}\norm f_q^q \quad\mbox{und}\quad \norm h_p^p=\int_{|f|\leq t}|f|^p\,d\mu\leq t^{p-q}\norm f_q^q~. $$ Da $[|Tf| > t]=[|T(g+h)| > t]\sbe[|Tg|+|Th| > t]\sbe [|Tg| > t/2]\cup[|Th| > t/2]$, folgt: \begin{eqnarray*} \norm{Tf}_q^q &=&\int_0^\infty qt^{q-1}\nu(|Tf| > t)\,dt\\ &\leq&\int_0^\infty qt^{q-1}\nu(|Tg| > t/2)\,dt +\int_0^\infty qt^{q-1}\nu(|Th| > t/2)\,dt\\ &\leq&2qC_1\int_0^\infty t^{q-2}\norm g_1\,dt +2^pqC_p^p\int_0^\infty t^{q-p-1}\norm h_p^p\,dt \end{eqnarray*} Nun ist aber einerseits nach Fubini: $$ \int_0^\infty t^{q-2}\norm g_1\,dt =\int_0^\infty\int_{|f| > t} t^{q-2}|f|\,d\mu\,dt =\int\int_0^{|f|}t^{q-2}|f|\,dt\,d\mu =\frac1{q-1}\norm f_q^q $$ und andererseits \begin{eqnarray*} \int_0^\infty t^{q-p-1}\norm h_p^p\,dt &=&\int_0^\infty\int_{|f|\leq t} t^{q-p-1}|f|^p\,d\mu\,dt\\ &=&\int\int_{|f|}^\infty t^{q-p-1}|f|^p\,dt\,d\mu =\frac1{p-q}\norm f_q^q, \end{eqnarray*} $\eofproof$

Folklore aus der Funktionalanalysis
Sei $X$ lokalkompakt und ${\cal A}\sbe C_0(X,\C)$ eine Unteralgebra. Falls
  1. ${\cal A}$ die Punkte von $X$ trennt.
  2. Zu jedem $x\in X$ ein $f\in{\cal A}$ existiert mit $f(x)\neq0$.
  3. Mit jedem $f\in{\cal A}$ auch $\bar f$ in ${\cal A}$ liegt.
Dann ist ${\cal A}$ dicht in $C_0(X,\C)$.
Unter denselben Bedingungen 1,2 und 3 ist auch eine Unteralgebra ${\cal A}$ von $C(X,\C)$ dicht in $C(X,\C)$, wobei letzterer die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen trägt.
Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit und ${\cal A}\sbe C^\infty(X,\C)$ eine Unteralgebra. Falls
  1. ${\cal A}$ die Punkte von $X$ trennt,
  2. Zu jedem $x\in X$ ein $f\in{\cal A}$ existiert mit $f(x)\neq0$.
  3. Mit jedem $f\in{\cal A}$ auch $\bar f$ in ${\cal A}$ liegt.
  4. Zu jedem $x\in X$ und jedem $v\in T_xX$ ein $f\in{\cal A}$ existiert mit $df(x)v\neq0$.
Dann ist ${\cal A}$ dicht in $C^\infty(X,\C)$.
Der Raum $C^\infty(X)$ trägt hierbei die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz aller Ableitungen auf kompakten Mengen, d.h. eine Folge $f_n$ konvergiert genau dann gegen $0$, wenn für alle $k\in\N$ und alle kompakten Teilmengen $K$ von $X$ die Folge $\nabla^k f_n$ auf $K$ gleichmäßig gegen $0$ konvergiert. Sowohl $C(X,\C)$ als auch $C^\infty(X,\C)$ sind keine Banachräume sondern sogenannte Frécheträume
Sei $X$ ein lokalkompakter Raum. Dann gibt es zu jedem stetigen linearen Funktional $x^*$ auf $C_0(X)$ genau ein beschränktes, signiertes Borelmaß $\mu$ auf $X$, so daß für alle $f\in C_0(X)$: $$ x^*(f)=\int_X f\,d\mu~. $$ Ferner gilt $\norm{x^*}=|\mu|(X)$.
Seien $X$, $Y$ Banachräume und $M$ eine Menge von beschränkten linearen Operatoren von $X$ nach $Y$. Falls $$ \forall x\in X\ \forall y^*\in Y^*:\quad \sup\{|y^*(Ax)|:A\in M\} < \infty, $$ dann gilt: $\sup\{\norm A:A\in M\}<\infty$.
Sei z.B. $A_n$ eine Folge von beschränkten, linearen Operatoren, so daß für alle $x\in X$ und alle $y^*\in Y^*$: $\lim y^*(A_nx)=y^*(Ax)$, dann ist $A$ ein beschränkter linearer Operator und $\sup_n\norm{A_n} < \infty$.
Seien $X$, $Y$ Frécheträume und $A:X\rar Y$ ein surjektiver, stetiger linearer Operator. Dann ist $A$ offen, d.h. $A$ bildet offene Mengen auf offene Mengen ab. Ist also insbesondere $A$ bijektiv, so ist $A$ ein Isomorphismus.
Seien $X$, $Y$ Frécheträume und $A:X\rar Y$ ein linearer Operator. Falls der Graph $\G(A)\colon=\{(x,Ax):x\in X\}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X\times Y$ ist, dann ist $A$ stetig.
Sei $X$ ein separabler Banachraum, dann gibt es zu jeder beschränkten Folge $x_n^*$ in $X^*$ ein $x^*\in X^*$ sowie eine Teilfolge $x_{k(n)}^*$, so daß für alle $x\in X$: $$ \lim_nx_{k(n)}^*(x)=x^*(x)~. $$ Man sagt, die Teilfolge $x_{k(n)}^*$ konvergiert schwach $*$ gegen $x^*$.
Sei $X$ kompakt. Eine Teilmenge $A$ von $C(X)$ ist genau dann relativ kompakt, wenn $A$ beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. für alle $x\in X$ und alle $\e > 0$ gibt es ein Umgebung $U$ von $x$, so daß $$ \sup\{|f(y)-f(x)|:\,f\in A,y\in U\}\leq\e~. $$

PDE
1. Maximumprinzip: Sei $X$ eine relativ kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit glattem Rand $\pa X$ und $u\in C(\cl X)\cap C^2(X)$, so daß für alle $x\in X$: $\D u(x)\geq0$. Dann ist $u$ entweder konstant auf $X$ oder es gilt für alle $x\in X$: $u(x)<\sup\{u(y):y\in\pa X\}$.
2. Zaremba Prinzip: Ist $u\in C^1(\cl X)$, $y\in\pa X$, so daß für alle $x\in X$: $u(y) > u(x)$ und $N$ ein äußeres Normalvektorfeld, so gilt: $\pa_Nu(y) > 0$.
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Last modified: Thu Sep 28 11:08:06 CEST 2023