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Die Hilbert-Transformation

Analytische Funktionen

Divergenzsatz

Unter einem Vektorfeld $X$ auf einer offenen Teilmenge $U$ von $\R^d$ versteht man in der Analysis eine glatte Abbildung $X:U\rar\R^d$. Bezeichnen wir mit $\z_1,\ldots,\z_d$ die Komponenten von $X$, also $X(x)=(\z_1(x),\ldots,\z_d(x))$, so heißt die Funktion $$ \divergence X\colon=-\sum\pa_j\z_j $$ die Divergenz von $X$.
Sei $M$ ein beschränktes, glatt berandetes Gebiet in $\R^d$ mit dem Normalvektorfeld $N$ und $X$ ein in einer Umgebung von $\cl M$ definiertes Vektorfeld. Dann gilt: $$ -\int_M\divergence(X)\,d\l =\int_{\pa M}\la X,N\ra\,dv, $$ wobei $v$ das Riemannsche Volumen auf $\pa M$ bezeichnet - also informell das Oberflächenmaß auf $\pa M$. Mit anderen Worten: interpretieren wir $X$ als das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit, so gibt die Funktion $f\colon=\divergence(X)$ im Punkt $x$ an ob sich die Flüssigkeitsmasse im Punkt erhöht oder verringert, je nachdem $f(x) > 0$ oder $f(x) < 0$.
Sei $M=B_1\colon=\{x\in\R^d:\Vert x\Vert < 1\}$, dann ist $\pa B_1=S^{d-1}=\{x\in\R^d:\Vert x\Vert = 1\}$ und für alle $\z\in S^{d-1}$: $N_\z=\z$. Definieren wir für $r > 0$ das Vektorfeld $X$ durch: $X(y)\colon=\nabla F(ry)$ mit einer glatten Funktion $F:B_1\rar\R$: \begin{eqnarray*} \pa_r\int_{S^{d-1}}F(r\z)\,d\z &=&\int_{S^{d-1}}\pa_rF(r\z)\,d\z =\int_{S^{d-1}}\la\nabla F(r\z),\z\ra\\ &=&\int_{S^{d-1}}\la X,N\ra =-\int_{B_1}\divergence(X) \end{eqnarray*} Nun ist $$ \divergence X(y) =-\sum_j\pa_j(\pa_jF)(ry) =-r\sum_j\pa_j^2F(ry) =r\D F(ry) $$ und somit erhalten wir: $$ \pa_r\int_{S^{d-1}}F(r\z)\,d\z =r\int_{B_1}-\D F(ry)\,dy =r^{1-d}\int_{B_r}-\D F(x)\,dx $$ Angenommen $-\D F(x)\leq C(-\D)G(x)$, dann folgt: $$ \pa_r\int_{S^{d-1}}F(r\z)\,d\z\leq C\pa_r\int_{S^{d-1}}G(r\z)\,d\z $$ und damit: \begin{equation}\label{anfeq1}\tag{ANF1} \int_{S^{d-1}}F(\z)\,\s(d\z)\leq C\int_{S^{d-1}}G(\z)\,\s(d\z)-CG(0)+F(0) \end{equation} wobei $\s$ das normalisierte Volumen (i.e. Haarmaß) auf $S^{d-1}$ bezeichnet, i.e. $\s(S^{d-1})=1$ und für jede meßbare Teilmenge $A$ von $S^{d-1}$ und jede lineare Isometrie $u:\R^d\rar\R^d$: $\s(u(A))=\s(A)$.
Seien $U,V$ offene Teilmengen von $\R^d$ und $F:U\rar V$ sowie $f:V\rar\R$ glatt. Dann gilt: $$ \forall x\in U\,\forall u,v\in\R^d:\quad \Hess_x f\circ F(u,v) =\sum_{j=1}^d\pa_jf(F(x))\Hess_xF_j(u,v)+\Hess_{F(x)}f(DF(x)u,DF(x)v) $$
$\proof$ Nach der Kettenregel ist mit $y\colon=F(x)$ für alle $u\in\R^d$: $Df\circ F(x)u=Df(y)(DF(x)u)$ und damit: $$ D^2f\circ F(x)(u,v)=D^2f(y)(DF(x)u,DF(x)v)+Df(y)(D^2F(x)(u,v)) $$ Da $\Hess_yf(u,v)=D^2f(y)(u,v)$ und die $j$-te Komponente von $D^2F(x)(u,v)$ gleich $\Hess_xF_j(u,v)$, folgt die Behauptung. $\eofproof$

Die Cauchy-Riemannschen Gleichungen

Sei $D$ ein Gebiet in $\R^d$, d.h. $D$ ist eine offene und zusammenhängende Teilmenge von $\R^d$. Eine glatte Funktion $u:D\rar\R$ heißt subharmonisch bzw. harmonisch, wenn $-\D u\geq0$ bzw. $\D u=0$. Ist $D$ beschränkt, $u:D\rar\R$ suhharmonisch und $h:D\rar\R$ harmonisch, so daß $u|\pa D=h|\pa D$, dann gilt für alle $x\in D$: $u(x)\leq h(x)$, denn andernfalls besitzt $g\colon=u-h$ in $D$ ein positives Maximum in einem Punkt $x_0\in D$; da $-\D g\geq0$ widerspricht dies dem Maximumprinzip.
Sei nun insbesondere $d=2$. Eine Funktion $f:D\rar\C$, $f(x,y)=f_1(x,y)+if_2(x,y)$ können wir dann genausogut als eine Funktion $f:D\rar\R^2$ betrachten, nämlich $f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))$ - wir bezeichnen im Weiteren diese Funktion gleichfalls mit $f$. $f$ heißt analytisch, wenn die sogenannten Cauchy-Riemannsche Gleichungen gelten: $$ \pa_xf_1=\pa_yf_2 \quad\mbox{und}\quad \pa_yf_1=-\pa_xf_2~. $$ Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß die lineare Abbildung $Df(x,y)$ eine $\C$-lineare Abbildung ist.
Für jede analytische Funktionen $f_1+if_2:D\rar\C$ gilt mit $f=(f_1,f_2):D\rar\R^2$:
  1. $\la Df(x,y) e_1,Df(x,y)e_2\ra=0$ und $\norm{Df(x,y)e_1}=\norm{Df(x,y)e_2}=\norm{\nabla f_1(x,y)}$,
  2. $\la\nabla f_1,\nabla f_2\ra=0$ und $\norm{\nabla f_1}=\norm{\nabla f_2}$,
  3. $\D f_1=\D f_2=0$.
Wobei $e_1,e_2$ die kanonische Basis von $\R^2$ bezeichnet.
Sei also $f_1+if_2:D\rar\C$ analytisch und $u:\C\rar\R$ glatt, dann folgt nach lemma $$ \Hess_x u\circ f(v,w) =\pa_1u(f(x))\Hess_xf_1(v,w)+\pa_2u(f(x))\Hess_xf_2(v,w) +\Hess_{f(x)}u(Df(x)v,Df(x)w), $$ Bezeichnet $e_1,e_2$ die kanonische Basis von $\R^2$, so schließen wir nach lemma: $$ -\D u\circ f(x,y) \colon=\tr\Hess_{(x,y)} u\circ f =\sum_j\Hess_{f(x,y)}u(Df(x)e_j,Df(x)e_j)~. $$ Nach lemma sind aber die Vektoren $Df(x,y)e_1$ und $Df(x,y)e_2$ zueinander orthogonal und beide besitzen dieselbe Norm, nämlich $\norm{\nabla f_1(x,y)}$. Da die Spur unabhängig von der orthonormalen Basis ist, erhalten wir: \begin{equation}\label{anfeq2}\tag{ANF2} -\D u\circ f(x,y)=\D u(f(x,y))\norm{\nabla f_1(x,y)}^2~. \end{equation}
Ist $f$ analytisch und $u$ harmonisch bzw. subharmonisch, so ist $u\circ f$ harmonisch bzw. subharmonisch.
Sei $M\sbe\R^d$ offen und $u:M\rar\R$, $\vp:\R\rar\R$ glatt, so gilt: $-\D(\vp\circ u)=\vp^\dprime(u)\norm{\nabla u}^2+\vp^\prime(u)(-\D u)$.
Sei $p\in\R$ und $f(z)\colon=|z|^p$. Dann gilt $-\D f(z)=p^2|z|^{p-2}$.
Sei $f:\C\rar\C\sm\{0\}$ analytisch. Dann ist die Funktion $u(z)\colon=\log|f(z)|$ harmonisch.

Der Satz von M. Riesz
Sei $f:D\rar\C$ analytisch und $f_1=\Re f$. Zu $\e > 0$ und $p\in(1,2]$ seien $$ G(z)\colon=(f_1(z)^2+\e)^{p/2} \quad\mbox{und}\quad F(z)\colon=(|f(z)|^2+\e)^{p/2}~. $$ Dann gilt: $-\D F\leq p(p-1)^{-1}(-\D)G$.
$\proof$ Seien $\vp(x)=(x^2+\e)^{p/2}$ und $u(x,y)\colon=(x^2+y^2+\e)^{p/2}$, dann ist $F=u\circ f$ und $G=\vp\circ f_1$. Da $\D f_1=0$, folgt einerseits: $-\D\vp\circ f_1=\vp^\dprime(f_1)\norm{\nabla f_1}^2$; andererseits wegen gilt nach \eqref{anfeq2}: $-\D u\circ f=-\D u(f)\norm{\nabla f_1}^2$. Weiters erhalten wir \begin{eqnarray*} \frac p{p-1}\vp^\dprime(x) &=&p(x^2+\e)^{p/2-2}(p(x^2+\e)+\frac p{p-1}(2-p)\e) \quad\mbox{und}\\ -\D u(x,y) &=&p(x^2+y^2+\e)^{p/2-2}(p(x^2+y^2+\e)+(2-p)\e) \end{eqnarray*} Die Behauptung folgt nun aus der Tatsache, daß erstens $\frac p{p-1}\geq1$ und daß zweitens die Funktion $$ t\mapsto t^{p/2-2}(pt+(2-p)\e) $$ für $p\leq2$ auf $\R^+$ monoton fallend ist. $\eofproof$
Sei $f:D\rar\C$ analytisch, $f_1=\Re F$, $f(0)=f_1(0)$ und $1 < p\leq2$. Dann gilt: $$ \frac1{2\pi}\int|f(re^{it})|^p\,dt \leq\frac p{p-1}\frac1{2\pi}\int|f_1(re^{it})|^p\,dt $$
$\proof$ Seien $F(z)\colon=(|f(z)|^2+\e)^{p/2}$ und $G(z)\colon=(f_1(z)^2+\e)^{p/2}$; nach Lemma gilt dann mit $1/p+1/q=1$: $-\D F\leq q(-\D G)$ und damit nach \eqref{anfeq1}: $$ \frac1{2\pi}\int|F(re^{it})|^p\,dt \leq\frac p{p-1}\frac1{2\pi}\int|G(re^{it})|^p\,dt-qG(0)+F(0) $$ Mit $\e\dar0$ folgt dann wegen $F(0)=G(0)\geq0$: $$ \frac1{2\pi}\int|f(re^{it})|^p\,dt \leq\frac p{p-1}\frac1{2\pi}\int|f_1(re^{it})|^p\,dt $$ $\eofproof$
Es gilt also mit $1\leq p\leq2$ und $1/p+1/q=1$: $$ \norm{H:L_p(\TT)\rar L_p(\TT)}\leq q^{1/p}~. $$ Die adjungierte von $H:L_p(\TT)\rar L_p(\TT)$: Für $e_n(t)=e^{int}$ ist $He_n=-i\sign(n)e_n$ und damit erhalten wir für die adjungierte: $$ \la H^*e_n,e_m\ra =\la e_n,He_m\ra =i\sign(m)\la e_n,e_m\ra =isign(n)\d_{nm} $$ i.e. $H^*=-H$ und somit $$ \norm{H:L_q(\TT)\rar L_q(\TT)} =\norm{H^*:L_p(\TT)\rar L_p(\TT)} =\norm{H:L_p(\TT)\rar L_p(\TT)} \leq q^{1/p}~. $$
Für alle $1 < p < \infty$ ist die Hilbert-Transformation eine stetige lineare Abbildung von $L_p(\TT)$ in sich. Folglich konvergiert für alle $f\in L_p(\TT)$ die Fourierreihe $S_n(f)$ in $L_p(\TT)$ gegen $f$.
$\proof$ Die Behauptung über die Fourierreihe folgt aus Korollar. $\eofproof$

Vergleichslemma

Carleson-Hunt Theorem
Für alle $1 < p$ konvergiert die Fourierreihe einer Funktion $f\in L_p(\TT)$ f.ü. gegen $f$.
Cf. e.g. wikipedia or O.G. Lorsboe and L.Mejlbro.

Übungen und ergänzende Resultate

Sei $U$ eine offene Teilmenge von $\R^2$ und $F:U\rar\C$ eine differenzierbare Abbildung. Dann definieren wir durch $f(x+iy)\colon=F(x,y)$ eine Abbildung auf der als Teilmenge von $\C$ betrachteten Menge $U$ in $\C$. 1. Ist $w\colon=a+ib$ und $f:\C\rar\C$ die Abbildung $f(z)=wz$, so ist $F:\R^2\rar\C$ die Abbildung $(x,y)\mapsto(ax-by)+i(bx+ay)$. 2. Jede Matrix $A\in\Ma(2,\R)$ definiert eine $\R$-lineare Abbildung von $\C$ in sich, die wir gleichfalls mit $A$ bezeichnen. Zeigen Sie, daß $A:\C\rar\C$ genau dann $\C$-linear ist, wenn $a_{11}=a_{22}$ und $a_{12}=-a_{21}$. In diesem Fall ist $A:\C\rar\C$ die Multiplikation mit der komplexen Zahl $w\colon=a_{11}+ia_{21}$. 3. Sei $J\in\Ma(2,\R)$ die Matrix $$ J=\left(\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\right) $$ Zeigen Sie, daß $J$ als Abbildung von $\C$ in $\C$ die Multiplikation mit $i$ ist und daß $A$ genau dann $\C$-linear ist, wenn die Matrizen $A$ und $J$ kommutieren, d.h. wenn $AJ=JA$.
Sei $\O\sbe\C$ offen und $f:\O\rar\C$ reell differenzierbar - d.h. $F(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ ist als Abbildung der offenen Teilmenge $\O$ von $\R^2$ in $\C$ differenzierbar und $$ D^\R f(z)(w)\colon=\lim_{t\to0,t\in\R} \frac{f(z+tw)-f(z)}t~. $$ nennt man die reelle Ableitung von $f$. $f$ ist genau dann analytisch, wenn für alle $x+iy\in\O$ die Jacobimatrix $DF(x,y)$ $\C$-linear ist. In diesem Fall ist $DF(x,y):\C\rar\C$ die Multiplikation mit der komplexen Zahl $$ \pa_xu+i\pa_xv=\pa_yv-i\pa_yu=\pa_zf =\lim_{w\to0}\frac{f(z+w)-f(z)}{w}~. $$
Es gilt nach der Taylor Formel mit $w=a+ib$: \begin{eqnarray*} f(z+w)-f(z) &=&\pa_xu(x,y)a+\pa_yu(x,y)b+i(\pa_xv(x,y)a+\pa_yv(x,y)b)+\Oh(|w|^2)\\ &=&\pa_xu(x,y)a-\pa_xv(x,y)b+i(\pa_xv(x,y)a+\pa_xu(x,y)b)+\Oh(|w|^2)\\ &=&(\pa_xu(x,y)+i\pa_xv(x,y))w+\Oh(|w|^2) \end{eqnarray*}
Sei $H^+\colon=\{z\in\C:\Im z>0\}$ die obere Halbebene. Dann ist die Abbildung $F:H^+\rar B$, $z\mapsto(i-z)/(i+z)$ bianalytisch mit der inversen $w\mapsto i(1-w)/(1+w)$. Ist $f:B\rar\C$ analytisch und stetig auf $\cl B$, $g=f\circ F$, so gilt: $$ \forall z\in H^+:\qquad g(z)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{\Im z}{|z-t|^2} g(t)\,dt =\frac1{\pi}\int_{-\infty}^\infty\Im\Big(\frac{1}{t-z}\Big)g(t)\,dt~. $$
Es gilt für alle $\z\in D$: $$ f(\z)=\frac1{2\pi i}\int_{\pa D}\Re\frac{w+\z}{w-\z}\,\frac{f(w)}w\,dw $$ mit $w=F(t)$ und $\z=F(z)$ folgt: $$ g(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\R}\Re\frac{F(t)+F(z)}{F(t)-F(z)}\, \frac{F^\prime(t)}{F(t)}\,g(t)\,dt $$ Nun ist $F^\prime(t)=-2i/(i+t)^2$ und damit: $F^\prime(t)/F(t)=2i/(1+t^2)$. Ferner ist $$ \frac{F(t)+F(z)}{F(t)-F(z)} =\frac{\frac{i-t}{i+t}+\frac{i-z}{i+z}}{\frac{i-t}{i+t}-\frac{i-z}{i+z}} =\frac{(i-t)(i+z)+(i-z)(i+t)}{(i-t)(i+z)-(i-z)(i+t)} =\frac{i(1+tz)}{z-t} $$ und somit erhalten wir mit $y=\Im z$: $$ \Re\frac{F(t)+F(z)}{F(t)-F(z)} =\Re\frac{i(1+tz)(\bar z-t)}{|z-t|^2} =\Re\frac{i\bar z-it^2z}{|z-t|^2} =\frac{y(1+t^2)}{|z-t|^2}, $$ also: $$ g(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\R}\frac{y+t^2y}{|z-t|^2}\, \frac{2i}{1+t^2} g(t)\,dt =\frac1{\pi}\int_{\R}\frac{y}{|z-t|^2} g(t)\,dt $$
Seien $1 < p < \infty$, $1/p+1/q=1$, $f\in L_p(\TT)$, $g\in L_q(\TT)$ und $h=f*g$. Dann konvergiert die Fourierreihe von $h$ in $C(\TT)$ gegen $h$.
Für $n > m$ gilt aufgrund der Kommutativität der Faltung: $$ S_n(h)-S_m(h) =D_n*f*g-D_m*f*g =f*(D_n*g-D_m*g) =f*(S_n(g)-S_m(g)) $$ Aus der Hölder Ungleichung folgt nun: $$ \forall t\in\TT\qquad |S_n(h)(t)-S_m(h)(t)| \leq\norm f_p\norm{S_n(g)-S_m(g)}_q $$ Da $\lim_n\norm{S_n(g)-g}_q=0$, folgt, daß $S_n(h)$ eine Cauchy Folge in $C(\TT)$ ist.
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Last modified: Thu Sep 28 11:12:50 CEST 2023