Sei $f:D\rar\C$ komplex differenzierbar und $u:\R^+\rar\R^+$ glatt. Falls $s\mapsto su^\prime(s)$ monoton steigt, dann ist auch
$$
F:r\mapsto\int_0^{2\pi} u(|f(re^{it})|)\,dt
$$
monoton steigend.
Sei $g(z)=u(|z|)$, dann ist $u(|f(z)|)=g(f(z))$ und nach dem Beweis zu Proposition:
$$
F^\prime(r)=\pa_r\frac1{2\pi}\int u(|f(re^{it}|)\,dt
=-\frac{r}{2\pi}\int_D\D g\circ f(rz)\,\l(dz)
=\frac1{2r\pi}\int_{D_r}-\D g\circ f(z)\,\l(dz)~.
$$
Nach Beispiel gilt für $f(z)\neq0$:
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\D g\circ f(z)=\D g(f(z))|f^\prime(z)|^2~.
$$
und nach Beispiel:
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-\D g(w)=\frac{u^\prime(|w|)}{|w|}+u^\dprime(|w|)~.
$$
Es folgt:
$$
F^\prime(r)
=\frac1{2r\pi}\int_{D_r}
\Big(\frac{u^\prime(|f|)}{|f|}+u^\dprime(|f|)\Big)
|f^\prime|^2~.
$$
Falls also für alle $s\geq0$: $s\mapsto u^\prime(s)/s+u^\dprime(s)\geq0$, dann ist $F$ monoton steigend. Nun ist aber
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(su^\prime)^\prime=u^\prime(s)+u^\dprime(s)s~.
$$