Zeigen Sie für alle $w\in S_{\pi/2-\a}^\circ$:
$$
\forall x\in\dom A:\quad
\ftd w P_wx=-P_wAx~.
$$
2. $w\mapsto P_w$ eine stetige, beschränkte, analytische Halbgruppe auf $S_{\pi/2-\a}^\circ$ mit dem Generator $A$.
Für $x\in\dom A$ ist $zU_zx=x+U_zAx$, also nach Abschnitt:
\begin{eqnarray*}
\frac1{2\pi i}\ftd w\int_{\g} e^{-wz}U_zx\,dz
&=&\frac1{2\pi i}\int_{\g} -ze^{-wz}U_zx\,dz\\
&=&-\frac1{2\pi i}\int_{\g} e^{-wz}x+e^{-wz}U_zAx\,dz
=0-P_wAx~.
\end{eqnarray*}
2. Bezeichnet $-B$ den Generator der stetigen, beschränkten Halbgruppe $P_t$, $t\geq0$, so gilt nach 1. für alle $x\in\dom A$ und alle $t > 0$: $\ttd tP_tx=-P_tAx$; somit ist $P_tx\in\dom B$ und $BP_tx=P_tAx$. Mit $t\to0$ folgt daher nach Beispiel: $(P_tx,BP_tx)\to(x,Ax)$ und da $B$ abgeschlossen ist: $x\in\dom B$ und $Bx=Ax$. Somit ist $B$ eine Erweiterung von $A$; damit ist aber auch $B+1$ eine Erweiterung von $A+1$ und da $\Spec(A),\Spec(B)\sbe[\Re\geq0]$, sind $A+1:\dom A\rar X$ und $B+1:\dom B\rar X$ Bijektionen, i.e. $\dom B=\dom A$.