Sei $f\in L_1(\R^+)$ und $E$ der von den Funktionen $f_a(t)\colon=f(t/a)/a$, $a > 0$, erzeugte Unterraum von $L_1(\R^+)$. $E$ ist genau dann dicht in $L_1(\R^+)$, wenn die Mellin-Transformierte $$ Mf(y)\colon=\int_0^\infty f(t)t^{y}\,dt $$ keine Nullstelle auf $i\R$ besitzt. Hinweis: die Abbildung $f\mapsto F$, $F(x)\colon=f(e^x)e^x$ ist eine Isometrie von $L_1(\R^+)$ auf $L_1(\R)$. Benutzen Sie sodann Satz.
Aus Beispiel folgt: $$ \norm F =\int_\R|f(e^x)|e^x\,dx =\int_0^\infty|f(t)|\,dt =\norm f_1 $$ und folglich ist $f\mapsto F$ eine Isometrie auf $L_1(\R)$ mit der inversen $F\mapsto(x\mapsto F(\log t)/t)$. Setzen wir $a=e^y$, $y\in\R$, so bildet diese Isometrie die Funktion $f_a$ ab auf $F_y(x)=f_a(e^x)e^x=f(e^x/a)e^x/a=f(e^{x-y})e^{t-y}=F(x-y)$. Somit besteht der Bildraum des Unterraumes $E$ von $L_1(\R^+)$ aus den von den Translationen $L_yF$, $y\in\R$, erzeugten Umterraumes von $L_1(\R)$. Nach Satz ist letzterer genau dann dicht in $L_1(\R)$, wenn $\wh F$ keine Nullstelle besitzt; aus Beispiel folgt aber $$ \wh F(y) =c_1\int_\R F(x)e^{-iyx}\,dx =c_1\int_\R f(e^x)e^{(1-iy)x}\,dx =c_1\int_0^\infty f(t)t^{-iy}\,dt =c_1Mf(-iy)~. $$