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Homogene Räume

Faltung
Integration in Banachräumen
Summationskerne
Übungen und ergänzende Resultate

Faltung

Die linearen Operatoren

S_{m}

σ_{m}

P_{r}

Q_{r}

H_{m}

besitzen alle dieselbe Form.

f, g \in L_{1} (T)

. Unter der Faltung

f * g

versteht man die Funktion

f * g (θ) : = \frac{1}{2 π} \int f (θ - t) g (t) d t .

Wir werden in Kürze sehen (cf. Satz), daß dadurch tatsächlich eine Funktion in

L_{1} (T)

definiert ist. Allgemeiner definiert man die Faltung zweier Maße

μ, ν \in M (T)

durch

\begin{matrix} (FHB1) & \forall f \in C (T) : \int f d μ * ν : = \int \int f (θ + t) μ (d θ) ν (d t) \end{matrix}

μ ≪ λ

ν ≪ λ

f = d μ / d λ

g = d ν / d λ

2 π f * g

die Dichte des Maßes

μ * ν

λ

F : T \times T \to T

(θ, t) \mapsto θ + t

μ * ν

das Bildmaß von

μ \otimes ν

F

. Ferner gilt für

A \in B

F^{- 1} (A)_{t} = {θ \in T : θ + t \in A} = A - t

nach dem Satz von Fubini:

(μ \otimes ν)_{F} (A) = μ \otimes ν (F^{- 1} (A)) = \int μ (F^{- 1} (A)_{t}) ν (d t) = \int μ (A - t) ν (d t) .

μ \in M (T)

μ * δ_{0} = μ

f, g \in L_{1} (T)

θ, τ \in T

f * g = g * f

(f * g) * h = f * (g * h)

f * (g + h) = f * g + f * h

L_{θ} (f * g) = (L_{θ} f) * g = f * (L_{θ} g)

(L_{θ} f * L_{σ} g) = L_{θ + σ} (f * g)

1 \leq p < \infty

θ \in T

ist die Abbildung

θ \mapsto L_{θ} f

T

L_{p} (T)

Beweis :

f \in C (T)

θ \mapsto L_{θ} f

T

C (T)

stetig. Sei nun

f \in L_{p} (T)

g \in C (T)

{‖ f - g ‖}_{p} < ϵ

, dann folgt mit

τ = θ - t

\begin{array}{rcl} {‖ L_{θ} f - L_{t} f ‖}_{p} & = & {‖ L_{τ} f - f ‖}_{p} \leq {‖ L_{τ} f - L_{τ} g ‖}_{p} + {‖ L_{τ} g - g ‖}_{p} + {‖ f - g ‖}_{p} \\ \leq & 2 {‖ f - g ‖}_{p} + {‖ L_{τ} g - g ‖}_{p} . \end{array}

qed

Die Faltung zweier funktionen besitzt folgende Eigenschaften:

Sei $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L_{p} (T)$ , $g \in L_{1} (T)$ . Dann gilt ${‖ f * g ‖}_{p} \leq {‖ f ‖}_{p} {‖ g ‖}_{1} .$
Sei $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L_{p} (T)$ , $g \in L_{q} (T)$ , $1 / p + 1 / q = 1$ . Dann ist $f * g$ stetig und beschränkt.
Ist $f \in C^{\infty} (T)$ und $g \in L_{1} (T)$ , so ist $f * g \in C^{\infty} (T)$ .
Für alle $f, g \in L_{1} (T)$ gilt: $\hat{f * g} = \hat{f} \hat{g}$ .

Beweis :

f, g, h \in L_{\infty} (T)

, dann erhalten wir nach Fubini und der Hölder Ungleichung:

\begin{array}{rcl} \frac{1}{2 π} \int f * g (θ) h (θ) d θ & \leq & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int | f (θ - t) g (t) h (θ) | d t d θ \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int | f (θ - t) g (t) h (θ) | d θ d t \\ \leq & \frac{1}{2 π} \int {‖ f ‖}_{p} {‖ h ‖}_{q} | g (t) | d t = {‖ f ‖}_{p} {‖ h ‖}_{q} {‖ g ‖}_{1} \end{array}

und die erste Behauptung folgt aus der Dichtheit von

L_{\infty} (T)

L_{r} (T)

1 \leq r < \infty

.
2. Sei o.B.d.A.

p < \infty

h = f * g

θ, t \in T

folgt nach Definition:

\begin{array}{rcl} | h (θ_{1}) - h (θ_{2}) | & \leq & \frac{1}{2 π} \int | f (θ_{1} - t) - f (θ_{2} - u) | | g (t) | d t \\ = & \frac{1}{2 π} \int | L_{- θ_{1}} f (- t) - L_{- θ_{2}} f (- t) | | g (t) | d t \leq {‖ L_{- θ_{1}} f - L_{- θ_{2}} f ‖}_{p} {‖ g ‖}_{q} . \end{array}

Die zweite Behauptung folgt nun aus Lemma.
4. Nach Fubini gilt:

\hat{f * g} (n) = \frac{1}{(2 π)^{2}} \int \int f (θ - t) g (t) d t e^{- i n θ} d θ = \frac{1}{(2 π)^{2}} \int \int f (θ - t) e^{- i n (θ - t)} g (t) e^{- i n t} d θ d t = \hat{f} (n) \hat{g} (n) .

qed

Die Banachalgebra $L_{1} (T)$

L_{1} (T)

ist mit der Faltung eine sogenannte kommutative Banachalgebra, d.h.

L_{1} (T)

ist ein Banachraum und die Faltung ist eine bilineare und assoziative Verknüpfung auf

L_{1} (T)

, so daß für alle

f, g \in L_{1} (T)

f * g = g * f

{‖ f * g ‖}_{1} \leq {‖ f ‖}_{1} {‖ g ‖}_{1}

. Allgemein definiert man für eine kommutative Banachalgebra

A

den Raum ihrer Charaktere durch

S_{A} : = {φ \in A^{*} ∖ {0} : \forall x, y \in A : φ (x y) = φ (x) φ (y)} .

Im Falle der Banachalgebra

A = L_{1} (T)

φ \in S_{L_{1} (T)}

genau dann, wenn ein Gruppencharakter

χ : T \to S^{1}

existiert, so daß für alle

f \in L_{1} (T)

φ (f) = (2 π)^{- 1} \int_{T} f (θ) \bar{χ} (θ) d θ,

d.h. die Charaktere der Gruppe

T

sind i.W. dieselben wie die Charaktere der kommutativen Banachalgebra

L_{1} (T)

.
Auf der kommutativen Banachalgebra

L_{1} (T)

gibt es auch eine sogenannte Involution : für

f \in L_{1} (T)

f^{*} (θ) : = \overset{―}{f (- θ)}

\begin{matrix} (FHB2) & f^{* *} = f, ‖ f^{*} ‖ = ‖ f ‖ und (f * g)^{*} = g^{*} * f^{*} . \end{matrix}

A

Banachalgebra mit einer Involution

x \mapsto x^{*}

; falls darüber hinaus für alle

x \in A

‖ x x^{*} ‖ = ‖ x ‖^{2}

, dann nennt man

A

C^{*}

-Algebra. Die typischen Beispiele für Banachalgebren bzw.

C^{*}

-Algebren sind der Raum

B (X)

der beschränkten linearen Operatoren eines Banachraumes

X

in sich (mit der Operatornorm und der Komposition als Multiplikation) bzw. der Raum

B (H)

für einen Hilbertraum

H

(die Involution ist die Abbildung, die jedem Operator

A \in B (H)

seinen adjungierten zuordnet). Ferner sind

c_{0} (Z)

C (X)

L_{\infty} (μ)

mit der punktweisen Multiplikation kommutative

C^{*}

-Algebra: die Involution ist in jedem dieser Fälle die Konjugation

f \mapsto \bar{f}

f \in L_{1} (T)

K : g \to f * g

eine lineare Abbildung von

L_{p} (T)

in sich mit der adjungierten

K^{*} (g) = \overset{ˇ}{f} * g

\overset{ˇ}{f} (x) = \bar{f} (- x)

f \in L_{1} (T)

F (\overset{ˇ}{f}) = \overset{―}{F (f)}

F (f * g) = F (f) F (g)

, ist die Fouriertransformation

F : L_{1} (T) \to c_{0} (Z)

ein sogenannter

C^{*}

-Homomorphismus. Cf. $C^{*}$ -Algebren bzw. kommutative Banachalgebren.

Young Ungleichung

Für

f \in L_{p} (T)

sei

K : g \mapsto f * g

, dann gilt mit

1 / p + 1 / q = 1

nach Satz:

‖ K : L_{1} (T) \to L_{p} (T) ‖ \leq {‖ f ‖}_{p} und ‖ K : L_{q} (T) \to L_{\infty} (T) ‖ \leq {‖ f ‖}_{p}

Nach dem Interpolationssatz von Riesz-Thorin gilt daher die Young-Ungleichung

\forall 1 / r = 1 / s - 1 / p + 1 : ‖ K : L_{r} (T) \to L_{s} (T) ‖ \leq {‖ f ‖}_{p}

f \in L_{p} (T)

g \in L_{r} (T)

1 / s = 1 / r + 1 / p - 1

\begin{matrix} (FHB3) & {‖ f * g ‖}_{s} \leq {‖ g ‖}_{r} {‖ f ‖}_{p} . \end{matrix}

Integration in Banachräumen

Integrierbare Funktionen

X

ein separabler Banachraum,

I = (a, b]

ein Intervall und

f : I \to X

eine einfache Funktion, d.h. es existieren meßbare paarweise disjunkte Teilmengen

A_{j}

I

x_{j} \in X

f = \sum x_{j} I_{A_{j}}

, dann definieren wir:

\int_{a}^{b} f (t) d t : = \int f d λ : = \sum_{j} x_{j} λ (A_{j}) .

Nach der Dreiecksungleichung gilt:

‖ \int f d λ ‖ \leq \int ‖ f (t) ‖ d t

f : I \to X

meßbar (d.h. für alle

x^{*} \in X^{*}

ist die Funktion

t \mapsto ⟨ f (t), x^{*} ⟩

\int_{a}^{b} ‖ f (t) ‖ d t < \infty

- eine solche Funktion heißt integrierbar, dann existiert eine Folge einfacher Funktionen

f_{n}

‖ f_{n} (t) ‖ \leq 2 ‖ f (t) ‖ und lim_{n} \int_{a}^{b} ‖ f (t) - f_{n} (t) ‖ d t = 0;

eine derartige Folge

f_{n}

f

determinierende Folge . Man bestätigt, daß

\int f_{n} d λ

eine Cauchy Folge ist und definiert:

\int f d λ : = lim_{n} \int f_{n} d λ

‖ \int f d λ ‖ \leq \int ‖ f ‖ d λ

\forall x^{*} \in X^{*} : x^{*} (\int f (t) d t) = \int x^{*} (f (t)) d t .

f : I \to X

c \in I^{\circ}

F (t) : = \int_{c}^{t} f (s) d s

, so gilt der Hauptsatz: für alle

t \in I^{\circ}

F^{'} (t) = f (t)

f : [a, b] \to X

φ : [a, b] \to C

C^{1}

-Funktionen auf dem kompakten Intervall

[a, b]

, dann gilt die Formel für partielle Integration:

\int_{a}^{b} φ^{'} (t) f (t) d t = φ (b) f (b) - φ (a) f (a) - \int φ (t) f^{'} (t) d t

Z.B. ist die Abbildung

f : [0, 1] \to C [0, 1]

f (t) (x) : = x^{t}

, integrierbar und es gilt:

(\int_{0}^{1} f (t) d t) (x) = \int_{0}^{1} f (t) (x) d t = \frac{x - 1}{\log x} .

Dieselbe Methode funktioniert i.W. auch für integrierbare Funktionen

f : I \to L_{1} (Ω, μ)

(t, ω) \mapsto f (t) (ω)

meßbar ist, dann stimmt die Funktion

\int f (t) d t

ω \mapsto \int_{I} \int f (t) (ω) d t μ (d ω) überein.

f : I \to X

I = [a, b]

kompakt, dann ist

f

integrierbar und

\int_{a}^{b} f (t) d t = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{2^{n}} \sum_{j = 0}^{2^{n} - 1} f (t_{j}),

t_{j}

irgendeinen Punkt im Intervall

[a + (b - a) j 2^{- n}, a + (b - a) (j + 1) 2^{- n}]

bezeichnet. Für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen stimmt daher das Integral mit dem Riemann Integral überein.

Homogene Banachräume

Im Folgenden sei

X

stets ein Unterraum von

L_{1} (T)

‖ . ‖_{X}

X

, so daß folgende Bedingungen erfüllt sind:

$(X, ‖ . ‖_{X})$ ist ein separabler Banachraum.

Die kanonische Injektion $X ↪ L_{1} (T)$ ist stetig, d.h. es gibt eine Konstante $c_{X}$ , so daß $\forall f \in X : {‖ f ‖}_{1} \leq c_{X} {‖ f ‖}_{X}$

Für alle $θ \in T$ ist $L_{θ} : X \to X$ eine Isometrie.

Für alle $f \in X$ ist $θ \mapsto L_{θ} f$ eine stetige Abbildung von $T$ in $(X, ‖ . ‖_{X})$ .

(X, ‖ . ‖_{X})

mit diesen Eigenschaften nennt man einen homogenen Banachraum auf

T

L_{p} (T)

1 \leq p < \infty

(nach Lemma) und

C (T)

bzw.

C^{p} (T)

für

p \in N

mit der Norm

{‖ f ‖}_{C^{p}} : = \sum_{k = 0}^{p} {‖ f^{(k)} ‖}_{\infty}

homogene Banachräume. Weitere Beispiele für homogene Banachräume sind die sogenannten Sobolevräume: Sei

s \geq 0

H^{s} (T) : = {f \in L_{2} (T) : {‖ f ‖}_{H^{s}} < \infty} mit {‖ f ‖}_{H^{s}}^{2} : = \sum | \hat{f} (n) |^{2} (1 + n^{2})^{s} .

(H^{s} (T), ‖ . ‖_{H^{s}})

ein homogener Hilbertraum (cf. Übungen) - der Sobolevraum der Ordnung

s

- mit dem inneren Produkt

⟨ f, g ⟩_{H^{s}} : = \sum_{n \in Z} \hat{f} (n) \overset{―}{\hat{g} (n)} (1 + n^{2})^{s}

L_{\infty} (T)

erfüllt zwar (II) und (III) aber keine der anderen Bedingungen.

K \in L_{1} (T)

f \in L_{1} (T)

L_{1} (T)

\frac{1}{2 π} \int K (t) L_{t} f d t = K * f .

Beweis :

t \mapsto K (t) L_{t} f

T

L_{1} (T)

\frac{1}{2 π} \int {‖ K (t) L_{t} f ‖}_{1} d t = \int \int | K (t) | | f (θ - t) | d θ d t \leq {‖ K ‖}_{1} {‖ f ‖}_{1};

t \mapsto K (t) L_{t} f

eine integrierbare Abbildung in

L_{1} (T)

. Jedes stetige lineare Funktional auf

L_{1} (T)

ist von der Form

f \mapsto ⟨ f, g ⟩ : = (2 π)^{- 1} \int_{T} f (θ) g (θ) d θ

g \in L_{\infty} (T)

\begin{array}{rcl} ⟨ \frac{1}{2 π} \int K (t) L_{t} f d t, g ⟩ & = & \frac{1}{2 π} \int K (t) ⟨ L_{t} f, g ⟩ d t \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int K (t) f (θ - t) g (θ) d θ d t \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int K (t) f (θ - t) g (θ) d t d θ = ⟨ K * f, g ⟩ . \end{array}

qed

X

ein homogener Banachraum, dann liegt für

K \in L_{1} (T)

f \in X

K * f

X

{‖ K * f ‖}_{X} \leq {‖ K ‖}_{1} {‖ f ‖}_{X}

Beweis :

{‖ K (t) L_{t} f ‖}_{X} = | K (t) | {‖ f ‖}_{X}

t \mapsto K (t) L_{t} f

eine integrierbare Abbildung von

T

X

, also folgt nach Lemma:

K * f \in X

; ferner ist

{‖ K * f ‖}_{X} \leq \frac{1}{2 π} \int {‖ K (t) L_{t} f ‖}_{X} d t \leq \frac{1}{2 π} \int | K (t) | {‖ f ‖}_{X} d t = {‖ K ‖}_{1} {‖ f ‖}_{X} .

qed

Summationskerne

S

eine meßbare Teilmenge von

R^{+}

, die zumindest eine nicht triviale Nullfolge enthält und

K : S \times T \to R

; wir betrachten nun folgende Bedingungen an

K

Für alle $s \in S$ : $\frac{1}{2 π} \int_{T} K (s, t) d t = 1 .$

Es existiert eine Konstante $C > 0$ , so das für alle $s \in S$ : $\frac{1}{2 π} \int_{T} | K (s, t) | d t \leq C .$

Für alle $δ > 0$ gilt : $lim_{s ↓ 0} \int_{| t | > δ} K (s, t) d t = 0 .$

Es gibt eine monoton fallend und integrierbare Funktion $β : R_{0}^{+} \to R_{0}^{+}$ , so daß $| K (s, t) | \leq β (| t | / s) / s$ .

(iv) impliziert (ii) und (iii): z.B.:

\int | K (s, t) | d t \leq 2 \int_{0}^{π} β (t / s) / s d t \leq 2 \int_{0}^{\infty} β (t) d t

und analog:

\int_{| t | > δ} K (s, t) d t \leq 2 \int_{0}^{δ} β (t) d t

.
Erfüllt

K

die Bedingungen (i),(ii) und (iii), so nennt man

K

einen Summationskern; ist darüber hinaus

K

nicht negativ, so heißt

K

ein positiver Summationskern . Diese besitzen die Eigenschaft, daß sie nicht negative Funktionen auf nicht negative Funktionen abbilden. Der Fejer- sowie der Poisson-Kern sind die für uns wichtigsten Beispiele von positiven Summationskernen - für den Fejer-Kern ist etwas künstlich

S = {1 / n : n \in N}

und für den Poisson-Kern ist genauso künstlich

S = {1 - r : r \in (0, 1]}

Sowohl der Poisson-Kern als auch der Fejer-Kern erfüllt (iv) mit

β (t) = c (1 + t^{2})^{- 1}

und einer geeigneten Konstante

c

.

Weitere Beispiele für positive Summationskerne

K

sind:

\begin{matrix} (SUK1) & s \in R^{+}, x \in R : \frac{e^{- x^{2} / 4 s}}{\sqrt{4 s π}}, \frac{1}{s} e^{- x / s} I_{(0, \infty)} (x), \frac{s}{π} (\frac{\sin x / s}{x})^{2}, \frac{s}{π} \frac{1}{s^{2} + x^{2}} . \end{matrix}

Für

s \in S

sei nun

Q_{s}

der Integraloperator:

\begin{matrix} (SUK2) & Q_{s} f (θ) : = \frac{1}{2 π} \int_{T} K (s, θ - t) f (t) d t = K_{s} * f (θ), Q_{0} f : = f . \end{matrix}

X

ein homogener Banachraum und

K

ein Summationskern, dann ist die durch

(SUK2)

definierte Abbildung

S \to X

,

s \mapsto Q_{s} f

für alle

f \in X

in

0

stetig, also:

\forall f \in X lim_{s ↓ 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} = 0

Beweis :

Zunächst folgt nach Proposition und (ii):

‖ Q_{s} : X \to X ‖ \leq ‖ K_{s} ‖_{1}

. Weiters erhalten wir für

f \in X

und

δ > 0

:

\begin{array}{rcl} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} & = & \frac{1}{2 π} ‖ \int K_{s} (t) L_{t} f - \int K_{s} (t) f d t ‖_{X} \\ \leq & \frac{1}{2 π} \int | K_{s} (t) | {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} d t \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{| t | < δ} | K_{s} (t) | {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} d t + \frac{1}{2 π} \int_{| t | > δ} | K_{s} (t) | {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} d t . \end{array}

Sei zu

ϵ > 0

die Zahl

δ > 0

so bestimmt, daß - nach (iii) bzw. (iv):

\forall s \leq δ : \frac{1}{2 π} \int_{| t | > δ} | K_{s} (t) | d t < ϵ und \forall t \leq δ : \frac{1}{2 π} {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} < ϵ .

Dann folgt für alle

s \leq δ

nach (ii) wegen

{‖ L_{t} f - f ‖}_{X} \leq 2 {‖ f ‖}_{X}

:

{‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} \leq C ϵ + 2 ϵ {‖ f ‖}_{X} .

qed

Insbesondere gilt für alle

1 \leq p < \infty

:

\begin{matrix} (SUK3) & \forall f \in L_{p} (T) : lim_{s ↓ 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{p} = 0 und \forall f \in C (T) : lim_{s ↓ 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{\infty} = 0 \end{matrix}

sowie für alle

s \geq 0

:

\forall f \in H^{s} (T) : lim_{s ↓ 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{H^{s}} = 0 .

K_{m}

P_{r}

der Fejer- bzw. der Poisson-Kern.

Für $f \in C (T)$ konvergierten $P (r, .) * f$ mit $r ↑ 1$ bzw. $K_{m} * f$ mit $m \to \infty$ gleichmäßig gegen $f$ .
Ist $f \in L_{p} (T)$ , $1 \leq p < \infty$ , so konvergieren $P (r, .) * f$ mit $r ↑ 1$ bzw. $K_{m} * f$ in $L_{p} (T)$ mit $m \to \infty$ gegen $f$ .
Für $f \in H^{s} (T)$ konvergierten $P (r, .) * f$ mit $r ↑ 1$ bzw. $K_{m} * f$ mit $m \to \infty$ in $H^{s} (T)$ gegen $f$ .

D : \hat{f} \mapsto i n \hat{f}

definierte Abbildung von

H^{s + 1} (T)

H^{s} (T)

ist stetig und es gilt für alle

f \in C^{\infty} (T)

D f = f^{'}

. 2. Zeigen Sie, daß für alle

s > 1 / 2

H^{s} (T) \subseteq C (T)

Stetige Halbgruppen

f \mapsto L_{t} f

definierte Abbildung (z.B. von

L_{1} (T)

in sich) ist einer der einfachsten Beispiele einer sogenannten stetigen (einparametrigen) Gruppe oder Halbgruppe. Ist

f

z.B. glatt, so ist

t \mapsto L_{t} f

auch differenzierbar mit

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} L_{t} f (θ) = - f^{'} (θ),

f \mapsto - f^{'}

den Generator der Gruppe

L_{t}

. Cf. Theorie stetiger Halbgruppen.
Da

P (r, .) * P (s, .) = P (r s, .)

P_{t} f : = P (e^{- t}, .) * f

eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf

L_{p} (T)

- die Poisson-Halbgruppe auf dem Torus.

t \geq 0

p \geq 1

q \leq 1 + (p - 1) e^{2 t}

‖ P_{t} : L_{p} (T) \to L_{q} (T) ‖ \leq 1 .

Man nennt diese Eigenschaft die Hyperkontraktivität der Halbgruppe

P_{t}

; sie ist äquivalent zur logarithmischen Sobolev Ungleichung

\int f^{2} \log f^{2} d μ - \int f^{2} d μ \log (\int f^{2} d μ) \leq 2 \int {‖ \nabla f ‖}^{2} d μ .

μ

das normalisierte Haarmaß

λ / 2 π

T

\hat{Δ f} (n) : = \hat{f} (n) n^{2}

ist ein positiver, selbstadjungierter Operator auf

L_{2} (T)

definiert mit dem Definitionsbereich

d o m (Δ) = H^{2} (T)

f \in C^{\infty} (T)

Δ f = - f^{''}

Die Funktionen $e_{n}$ , $n \in Z$ , bilden ein vollständiges System von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten $n^{2}$ und die durch $\forall s \geq 0 : P_{s} f : = e^{- s Δ} f : = \sum_{n \in Z} e^{- n^{2} s} \hat{f} (n) e_{n}$ definierte Familie von Operatoren $P_{s}$ heißt die Wärmeleitungs-Halbgruppe auf $T$ . Zeigen Sie: $P_{s + r} f = P_{s} P_{r} f$ und $P_{s} f = K_{s} * f$ , wobei $K_{s} (θ) : = \sum_{n \in Z} e^{- n^{2} s + i n θ}$ .

‖ P_{s} : L_{2} (T) \to L_{2} (T) ‖ \leq 1

\begin{array}{rcl} \forall f \in L_{2} (T) & : & lim_{s \to 0} {‖ P_{s} f - f ‖}_{2} = 0 und \\ \forall f \in H^{2} (T) & : & lim_{s \to 0} {‖ \frac{1}{s} (P_{s} f - f) + Δ f ‖}_{2} = 0 \end{array}

P_{s}

ist eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf

L_{2} (T)

mit dem Generator

- Δ

t > 0

f \in L_{2} (T)

P_{s} f

C^{\infty} (T)

Δ

H^{2} (T)

symmetrisch und positiv, denn für

f, g \in H^{2} (T)

⟨ Δ f, g ⟩ - ⟨ f, Δ g ⟩ = ⟨ F Δ f, F g ⟩ - ⟨ F f, F Δ g ⟩ = \sum_{n \in Z} n^{2} (\hat{f} (n) \overset{―}{\hat{g} (n)} - \hat{f} (n) \overset{―}{\hat{g} (n)}) = 0

⟨ Δ f, f ⟩ = \sum_{n \in Z} n^{2} | \hat{f} (n) |^{2} \geq 0 .

g \in L_{2} (T)

, dann besitzt die Gleichung

f + Δ f = g

\hat{f} (n) = \hat{g} (n) (1 + n^{2})^{- 1}

f \in H^{2} (T)

i m (1 + Δ) = L_{2} (T)

Δ

ist selbstadjungiert mit

d o m (Δ) = H^{2} (T)

Dirichlet-Kerne und die Hilbert Transformation

Der Dirichlet-Kern ist typischerweise kein Summationskern (er besitzt zwar die Eigenschaft (i) aber, wie wir noch sehen werden (cf. Proposition), keine der anderen. Für alle

f \in A

und alle

1 \leq p \leq \infty

gilt aber offensichtlich

lim_{n} {‖ S_{n} (f) - f ‖}_{p} = 0

. Der entscheidende Punkt im Weiteren ist die Dichtheit der Algebra

A

der trigonometrischen Polynome in den homogenen Banachräumen

L_{p} (T)

,

1 \leq p < \infty

, bzw.

C (T)

.
Sei nun

K : S \times T \to R

eine Kernfunktion und

Q_{s}

,

s \in S

, die durch

(SUK2)

definierten Integraloperatoren, wobei wir an die Kernfunktion

K

keine der Bedingungen (i), (ii) oder (iii) stellen!

X

ein homogenener Banachraum, so daß für alle

s

Q_{s} : X \to X

beschränkt ist. Sei

E

ein dichter Unterraum von

X

mit der Eigenschaft, daß für alle

f \in E

lim_{s \to 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} = 0

. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

$\underset{s \to 0}{lim sup} ‖ Q_{s} : X \to X ‖ < \infty$ .
$\forall f \in X : lim_{s \to 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} = 0$ .

Beweis :

Falls für alle

f \in X

lim_{s \to 0} {‖ Q_{s} f - f ‖}_{X} = 0

, dann folgt nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit:

\underset{s \to 0}{lim sup} ‖ Q_{s} : X \to X ‖ < \infty .

Sei umgekehrt

\underset{s \to 0}{lim sup} ‖ Q_{s} : X \to X ‖ \leq C

und

f \in X

, dann gibt es nach Voraussetzung zu jedem

ϵ > 0

ein

g \in E

mit

‖ f - g ‖ \leq ϵ

und folglich:

\underset{s \to 0}{lim sup} ‖ Q_{s} f - f ‖ \leq \underset{s \to 0}{lim sup} ‖ Q_{s} f - Q_{s} g ‖ + ‖ Q_{s} g - g ‖ + ‖ Q_{s} g - g ‖ \leq (C + 1) ϵ

qed

Wir wollen abschließend zeigen, daß die gleichmäßige Beschränktheit der Operatoren

S_{n} : X \to X

gleichbedeutend mit der Stetigkeit der Hilbert-Transformation ist: Zunächst folgt für

f \in A

und

m \in Z

wegen

\hat{e_{m} f} (k) = \hat{f} (k - m)

:

H (e_{m} f) = - i \sum_{k \in Z} s i g n (k) \hat{e_{m} f} (k) e_{k} = - i \sum_{k \in Z} s i g n (k) \hat{f} (k - m) e_{k}

also erhalten wir für

m \in N

:

\begin{array}{rcl} H (e_{m} f) e_{- m} & = & - i \sum_{k \in Z} s i g n (k + m) \hat{f} (k) e_{k} und analog \\ H (e_{- m} f) e_{m} & = & - i \sum_{k \in Z} s i g n (k - m) \hat{f} (k) e_{k} . \end{array}

Damit folgt nun:

\begin{matrix} (SUK4) & H (e_{m} f) e_{- m} - H (e_{- m} f) e_{m} = - i (e_{m} \hat{f} (m) + e_{- m} \hat{f} (- m)) - 2 i S_{m - 1} (f) . \end{matrix}

Analog zeigt man die 'inverse Beziehung':

\begin{matrix} (SUK5) & S_{m} (f e_{- m}) e_{m} - S_{m} (f e_{m}) e_{- m} = \sum_{k = - 2 m}^{2 m} s i g n (k) \hat{f} (k) e_{k} = H S_{2 m} f . \end{matrix}

X

ein homogener Banachraum, der

A

als dichten Unterraum enthält und in dem für alle

n \in Z

f \in X

{‖ e_{n} f ‖}_{X} = {‖ f ‖}_{X}

. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

$sup_{m} ‖ S_{m} : X \to X ‖ < \infty$ .
Für alle $f \in X$ gilt: $lim_{n} {‖ S_{m} f - f ‖}_{X} = 0$ .
$‖ H : X \to X ‖ < \infty$ .

Beweis :

1. und 2. sind nach Satz äquivalent. 3.

\Rightarrow

2.: Nach

(SUK4)

gilt mit

C : = ‖ H : X \to X ‖

:

2 {‖ S_{m - 1} f ‖}_{X} \leq 2 C {‖ f ‖}_{X} + 2 sup_{n} | \hat{f} (n) | \leq 2 C {‖ f ‖}_{X} + 2 {‖ f ‖}_{1} \leq 2 (C + c_{X}) {‖ f ‖}_{X} .

2.

\Rightarrow

3.: Nach

(SUK5)

gilt für alle

f \in A

:

{‖ H f ‖}_{X} \leq 2 sup_{m} ‖ S_{m} : X \to X ‖ {‖ f ‖}_{X} .

qed

Übungen und ergänzende Resultate

f \in L_{1} (T)

T : g \mapsto f * g

definierte Abbildung von

L_{1} (T)

L_{1} (T)

stetig und linear mit der Norm

{‖ f ‖}_{1}

{‖ f * g ‖}_{1} \leq {‖ f ‖}_{1} {‖ g ‖}_{1}

‖ T ‖ \leq {‖ f ‖}_{1}

. Andererseits gilt für

K_{n}

‖ K_{n} ‖ = 1

{‖ f * K_{n} - f ‖}_{1} \to 0

‖ T ‖ \geq {‖ f ‖}_{1}

k_{n} : R \to R_{0}^{+}

n \in N

, glatte Funktionen mit folgenden Eigenschaften:

\int k_{n} = 1

k_{n} (t) = 0

| t | > 1 / n

(k_{n})

ein Summationskern und falls

X

ein homogener Banachraum auf

R

ist, dann liegen die glatten Funktionen mit kompaktem Träger dicht in

X

. Finden Sie solche

k_{n}

H^{s} (T)

ist ein homogener Hilbertraum und für

f \in C^{\infty} (T)

{‖ f ‖}_{H^{1}}^{2} = {‖ f ‖}_{2}^{2} + {‖ f^{'} ‖}_{2}^{2}

\hat{L_{t} f} (n) = e^{- i n t} \hat{f} (n)

| \hat{L_{t} f} (n) | = | \hat{f} (n) |

{‖ L_{t} f ‖}_{H^{s}} = {‖ f ‖}_{H^{s}}

{‖ L_{t} f - f ‖}_{H^{s}}^{2} = \sum_{n \in Z} | 1 - e^{- i n t} |^{2} | \hat{f} (n) |^{2} (1 + n^{2})^{s}

ϵ > 0

N \in N

\sum_{| n | > N} | \hat{f} (n) |^{2} (1 + n^{2})^{s} < ϵ^{2}

. Dann wählen wir

t

0

, daß für alle

| n | \leq N

| 1 - e^{- i n t} | < ϵ / {‖ f ‖}_{H^{s}}

{‖ L_{t} f - f ‖}_{H^{s}}^{2} < 2 ϵ^{2}

H^{s} (T^{d})

ist definiert als die Menge aller Funktionen

f \in L_{2} (T^{d})

{‖ f ‖}_{H^{s}}^{2} : = \sum_{n \in Z^{d}} | \hat{f} (n) |^{2} (1 + {‖ n ‖}^{2})^{s} .

H^{s} (T)

ist ein homogener Hilbertraum und für

f \in C^{\infty} (T^{d})

{‖ f ‖}_{H^{1}}^{2} = {‖ f ‖}_{2}^{2} + \sum_{j} {‖ \partial_{j} f ‖}_{2}^{2}

K \in L_{1} (T)

E

{L_{θ} K : θ \in T}

erzeugte Unterraum von

L_{1} (T)

E

ist genau dann dicht in

L_{1} (T)

, wenn für alle

n \in Z

\hat{K} (n) \neq 0

f \in L_{1} (T)

A : f \mapsto K * f

ein beschränkter Operator in

L_{1} (T)

\overset{―}{i m} A = \overset{―}{E}

E

ist also genau dann nicht dicht, wenn

i m A

nicht dicht ist und dies ist genau dann der Fall, wenn

A^{*}

nicht injektiv ist, i.e. wenn es ein

g \in L_{\infty} (T)

g \neq 0

\overset{ˇ}{K} * g = 0

, also genau dann, wenn

\hat{\overset{ˇ}{K}} \hat{g} = 0

\hat{g} \neq 0

\hat{\overset{ˇ}{K}} = \overset{―}{\hat{K}}

, folgt die Behauptung.

K \in L_{1} (T^{d})

E

{L_{θ} K : θ \in T^{d}}

erzeugte Unterraum von

L_{1} (T^{d})

E

ist genau dann dicht in

L_{1} (T^{d})

, wenn für alle

n \in Z^{d}

\hat{K} (n) \neq 0

1 \leq p < \infty

g \in L_{p} (T)

f \in L_{q} (T)

1 / p + 1 / q = 1

. Dann gilt das Fejer Lemma :

lim_{| n | \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{T} f (t) g (n t) d t = \hat{f} (0) \hat{g} (0)

p < \infty

: Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in

L_{p} (T)

g

ein trigonometrisches Polynom, so gilt die Aussage nach dem Riemann-Lebesgue Lemma. Zu jedem

g \in L_{p} (T)

ϵ > 0

gibt es ein trigonometrisches Polynom

T

{‖ g - T ‖}_{p} < ϵ

\begin{array}{rcl} | \frac{1}{2 π} \int f (t) g (n t) d t - \hat{f} (0) \hat{g} (0) | & \leq & | \frac{1}{2 π} \int f (t) T (n t) d t - \hat{f} (0) \hat{T} (0) | \\ + | \frac{1}{2 π} \int f (t) (T (n t) - g (n t)) d t | + | \hat{f} (0) | | \hat{T} (0) - \hat{g} (0) | \end{array}

und der zweite Summand ist nach der Hölder Ungleichung beschränkt durch

{‖ f ‖}_{q} {‖ T - g ‖}_{p} < {‖ f ‖}_{p} ϵ

p = \infty

q = 1

wählen wir z.B.

T \in L_{2} (T)

{‖ f - T ‖}_{1} < ϵ

\begin{array}{rcl} | \frac{1}{2 π} \int f (t) g (n t) d t - \hat{f} (0) \hat{g} (0) | & \leq & | \frac{1}{2 π} \int (f (t) - T (t)) g (n t) d t | \\ + | \frac{1}{2 π} \int T (t) g (n t) d t - \hat{T} (0) \hat{g} (0) | + | \hat{T} (0) - \hat{f} (0) | | \hat{g} (0) | . \end{array}

g \in L_{\infty} (T) \subseteq L_{2} (T)

folgt die Behauptung aus dem ersten Fall für

p = q = 2

Zeigen Sie das Fejer Lemma für

g \in L_{p} (T)

f \in L_{q} (T, X)

1 / p + 1 / q = 1

Bestimmen Sie alle

K \in L_{1} (T)

K * K = K

K

diese Beziehung, so ist der lineare Operator

P (f) : = K * f

eine Projektion auf einen, d.h.

P^{2} = P

f, g \in C (T)

[f * g \neq 0] \subseteq [f \neq 0] + [g \neq 0]

X \subseteq L_{1} (T)

ein homogener Banachraum. Dann ist

X \cap C^{\infty} (T)

X

P

ein trigonometrisches Polynom des Grades

n

P^{'} (t) = - P * G_{n} (t) wobei G_{n} (t) : = 2 n K_{n - 1} (t) \sin (n t)

K_{n}

die Fejer-Kerne bezeichnen. Folgern Sie die Bernstein Ungleichung :

{‖ P^{'} ‖}_{\infty} \leq 2 n {‖ P ‖}_{\infty} .

e_{k} (t) = e^{i k t}

e_{k}^{'} = i k e_{k}

\hat{e_{k}^{'}} (j) = 0

j \neq k

\hat{e_{k}^{'}} (k) = i k

. Es genügt daher zu zeigen, daß

{\hat{G}}_{n} (k) = - i k

. Nach einer Formel für den Fejer-Kern gilt:

\begin{array}{rcl} - 2 n K_{n - 1} (t) \sin (n t) & = & i n \sum_{j = - n + 1}^{n - 1} (1 - \frac{| j |}{n}) (e^{i (n + j) t} - e^{- i (n - j) t}) \\ = & i n \sum_{j = - n + 1}^{n - 1} (1 - \frac{| j |}{n}) e^{i (n + j) t} - i n \sum_{j = - n + 1}^{n - 1} (1 - \frac{| j |}{n}) e^{- i (n - j) t} \\ = & i n \sum_{k = 1}^{2 n - 1} (1 - \frac{| k - n |}{n}) e^{i k t} - i n \sum_{k = 1}^{2 n - 1} (1 - \frac{| k - n |}{n}) e^{- i k t} \\ = & - i \sum_{| k | \leq n} k e^{i k t} + \sum_{2 n > | k | > n} \dots \end{array}

Der Dirichlet- bzw. Fejer- bzw. Poisson-Kern auf

T^{d}

ist definiert durch:

\forall t = (t_{1}, \dots, t_{d}) \in T^{d}

D_{m}^{d} (t) : = \prod_{j = 1}^{d} D_{m} (t_{j}), K_{m}^{d} (t) : = \prod_{j = 1}^{d} K_{m} (t_{j}), P^{d} (r, t) : = \prod_{j = 1}^{d} P (r, t_{j}),

m \in N_{0}

r \in (0, 1)

. Die entsprechenden Operatoren sind:

S_{m} (f) : = D_{m}^{d} * f

σ_{m} (f) : = K_{m}^{d} * f

P_{r} (f) : = P (r, .)^{d} * f

f, g \in L_{1} (T^{d})

\forall θ \in T^{d} : f * g (θ) = \frac{1}{(2 π)^{d}} \int_{T^{d}} f (θ - t) g (t) d t .

{L i p}_{α} (T)

{‖ f ‖}_{{L i p}_{α}} : = sup_{t} | f (t) | + sup {\frac{| f (t + h) - f (t) |}{| h |^{α}} : t, h \in T, h \neq 0}

erfüllt (I) und (II) nicht aber (III).

Die Funktion

f (t) : = | \sin (t) |^{α}

liegt in

{L i p}_{α} (T)

und es gilt:

\frac{| (L_{θ} f - f) (t - h) - (L_{θ} f - f) (t) |}{| h |^{α}} = \frac{| f (t - h - θ) - f (t - h) - f (t - θ) + f (t) |}{| h |^{α}}

Setzen wir

h = - θ

und

t = 0

, so folgt:

{‖ L_{h} f - f ‖}_{{L i p}_{α}} \geq 2 | \sin (h) / h |^{α}

.

0 < α < β \leq 1

sind die kanonischen Injektionen

{L i p}_{β} (T^{d}) ↪ {L i p}_{α} (T^{d}) ↪ C (T^{d})

Nach dem Satz von Arzela-Ascoli ist

{L i p}_{β} (T^{d}) ↪ C (T^{d})

kompakt. Sei

{‖ f_{n} ‖}_{{L i p}_{β}} \leq 1

, so daß

f_{n}

in

C (T^{d})

gegen

f

konvergiert. Da weiters für alle

g \in {L i p}_{β} (T^{d})

:

\begin{array}{rcl} \frac{| g (x) - g (y) |}{d (x, y)^{α}} & = & \frac{| g (x) - g (y) |}{d (x, y)^{β}} d (x, y)^{β - α} \\ \leq & 2 min {d (x, y)^{β - α} {‖ g ‖}_{{L i p}_{β}}, {‖ g ‖}_{\infty} d (x, y)^{- α}}; \end{array}

folgt für alle

ϵ > 0

:

{‖ f_{n} - f ‖}_{{L i p}_{α}} \leq {‖ f_{n} - f ‖}_{\infty} + 2 ϵ^{- α} {‖ f_{n} - f ‖}_{\infty} + 2 ϵ^{β - α}

Wählen wir nun

n_{ϵ} \in N

, so daß für alle

n \geq n_{ϵ}

:

{‖ f_{n} - f ‖}_{\infty} < ϵ

, dann folgt:

{‖ f_{n} - f ‖}_{α} \leq ϵ + 2 ϵ^{1 - α} + 2 ϵ^{β - α} .

X \subseteq L_{1} (T)

ein Banachraum, der (I), (II) und (III) erfüllt (vgl. Def. des homogenen Raumes). Sei

X_{c}

die Menge aller

f \in X

, für die

t \mapsto L_{t} f

eine stetige

X

-wertige Abbildung ist. Dann ist

X_{c}

ein abgeschlossener Unterraum von

X

.

Sei

f_{n}

eine Folge in

X_{c}

, die in

X

gegen

f

konvergiere. Zu

ϵ > 0

gelte für alle

n \geq n_{ϵ}

:

{‖ f_{n} - f ‖}_{X} < ϵ

. Wegen (II) gilt dann:

\begin{array}{rcl} {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} & \leq & {‖ L_{t} f - L_{t} f_{n} ‖}_{X} + {‖ L_{t} f_{n} - f_{n} ‖}_{X} + {‖ f_{n} - f ‖}_{X} \\ = & 2 {‖ f - f_{n} ‖}_{X} + {‖ L_{t} f_{n} - f_{n} ‖}_{X} < 2 ϵ + {‖ L_{t} f_{n} - f_{n} ‖}_{X} \end{array}

und folglich:

\underset{t \to 0}{lim sup} {‖ L_{t} f - f ‖}_{X} \leq 2 ϵ

.

X \subseteq L_{1} (T)

ein Banachraum, der (I), (II) und (III) erfüllt. Dann ist

X_{c}

der Abschluß der in

X

enthaltenen trigonometrischen Polynome.

X_{c}

ist nach Beispiel ?? ein abgeschlossener Teilraum von

X

. Falls

e_{m} (t) : = e^{i m t}

in

X

liegt, dann folgt:

lim_{t \to 0} {‖ L_{t} e_{m} - e_{m} ‖}_{X} = lim_{t \to 0} | e^{- i m t} - 1 | {‖ e_{m} ‖}_{X} = 0 .

Daher gilt

e_{m} \in X_{c}

und damit liegt der

X

-Abschluß der trigonometrischen Polynome in

X_{c}

. Ist umgekehrt

f \in X_{c}

, so liegt das trigonometrische Polynom

K_{n} * f

in

X_{c}

und konvergiert mit

n \to \infty

in

X

gegen

f

.

X = L_{\infty} (T)

X_{c} = C (T)

X = {L i p}_{1} (T)

X_{c} = C^{1} (T)

X_{c}

{L i p}_{1}

-Abschluß der trigonometrischen Polynome, d.h.

X_{c} = C^{1} (T)

0 < α < 1

X = {L i p}_{α} (T)

X_{c} = {f \in C (T) : lim_{h \to 0} sup_{t} \frac{| f (t + h) - f (t) |}{| h |^{α}} = 0} = : {l i p}_{α} (T)

{l i p}_{α} (T)

ist ein abgeschlossener Unterraum von

{L i p}_{α} (T)

und enthält alle trigonometrischen Polynome, also:

X_{c} \subseteq {l i p}_{α} (T)

. Ist umgekehrt

f \in {l i p}_{α} (T)

t \mapsto L_{t} f

eine stetige Abbildung in

{L i p}_{α} (T)

{l i p}_{α} (T) \subseteq X_{c}

α \in (0, 1)

b > 1

. Dann liegt die durch

f (t) : = \sum_{n = 1}^{\infty} b^{- n α} \cos (b^{n} t)

definierte Weierstraß Funktion in

{L i p}_{α} (T)

{l i p}_{α} (T)

\cos α - \cos β = 2 \sin \frac{1}{2} (α + β) \sin \frac{1}{2} (β - α)

\begin{array}{rcl} f (t + h) - f (t) & = & - 2 \sum_{n \geq 1} 2 b^{- n α} \sin (b^{n} (t + h / 2)) \sin (b^{n} h / 2) \\ = & - \sum_{n \leq N} - \sum_{n > N} = - P - Q \end{array}

N : = inf {n : b^{n} h \leq 1}

b^{N} \leq 1 / h

b^{N + 1} > 1 / h

\begin{array}{rcl} | P | & \leq & 2 \sum_{n = 1}^{N} b^{- n α} b^{n} h / 2 \leq \sum_{n = 1}^{N} b^{- n α} b^{n} h \\ = & h b^{N (1 - α)} \sum_{n = 0}^{N - 1} b^{- (1 - α) n} \leq h b^{N (1 - α)} K \leq K h (1 / h)^{1 - α} = K h^{α} \\ | Q | & \leq & 2 \sum_{n = N + 1}^{\infty} b^{- n α} = 2 b^{- α (N + 1)} \sum_{n = 0}^{\infty} b^{- n α} \leq K^{'} b^{- (N + 1) α} \leq K^{'} h^{α} \end{array}

\begin{array}{rcl} | f (h) - f (0) | & \geq & 2 \sum_{n = 1}^{N} b^{- n α} \sin^{2} (b^{n} h / 2) \\ \geq & \frac{1}{2} h^{2} \sum_{n = 1}^{N} b^{(2 - α) n} \geq \frac{1}{2} h^{2} (1 / h b)^{(2 - α)} = \frac{1}{2} h^{α} b^{α - 2} \end{array}

\hat{Δ f} (n) : = \hat{f} (n) {‖ n ‖}^{2}

ist ein positiver, selbstadjungierter Operator auf

L_{2} (T^{d})

d o m (Δ) = H^{2} (T^{d})

f \in C^{\infty} (T)

Δ f = - \sum_{j} \partial_{j}^{2}

. 2. Die Funktionen

e_{n}

n \in Z^{d}

, bilden ein vollständiges System von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten

{‖ n ‖}^{2}

\forall s \geq 0 : P_{s} f : = e^{- s Δ} f : = \sum_{n \in Z^{d}} e^{- {‖ n ‖}^{2} s} \hat{f} (n) e_{n}

definierte Familie von Operatoren

P_{s}

heißt die Wärmeleitungshalbgruppe auf

T^{d}

P_{s + r} f = P_{s} P_{r} f

P_{s} f = K_{s}^{d} * f

K_{s}^{d} (θ_{1}, \dots θ_{d}) : = \prod_{j} K_{s} (θ_{j})

‖ P_{s} : L_{2} (T^{d}) \to L_{2} (T^{d}) ‖ \leq 1

\begin{array}{rcl} \forall f \in L_{2} (T^{d}) & : & lim_{s \to 0} {‖ P_{s} f - f ‖}_{2} = 0 und \\ \forall f \in H^{2} (T^{d}) & : & lim_{s \to 0} {‖ \frac{1}{s} (P_{s} f - f) + Δ f ‖}_{2} = 0 \end{array}

P_{s}

ist eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf

L_{2} (T^{d})

mit dem Generator

- Δ

f, g \in H^{2} (T^{d})

u (t) = \sum_{n \in Z^{d}} \hat{f} (n) \cos (‖ n ‖ t) e_{n} + \hat{g} (n) \sin (‖ n ‖ t) e_{n}

eine Lösung der Wellengleichung

u^{''} (t) = - Δ u (t)

u (0) = f

u^{'} (0) = g

u (t) = \sum \hat{u} (t, n) e_{n}

Δ u + \partial_{t}^{2} u = \sum ({‖ n ‖}^{2} \hat{u} (t, n) + \partial_{t}^{2} \hat{u} (t, n)) e_{n}

also gilt für alle

n \in Z^{d}

n^{2} \hat{u} (t, n) + \partial_{t}^{2} \hat{u} (t, n) = 0

\hat{u} (t, n) = a (n) \cos (‖ n ‖ t) + b (n) \sin (‖ n ‖ t)

a (n) = \hat{u} (0, n)

b (n) = \partial_{t} \hat{u} (0, n)

D : \hat{f} \mapsto i n \hat{f}

definierte Abbildung von

H^{s + 1} (T)

H^{s} (T)

ist stetig und es gilt für alle

f \in C^{\infty} (T)

D f = f^{'}

. 2. Zeigen Sie, daß für alle

s > 1 / 2 + n

H^{s} (T) ↪ C^{n} (T)

s > d / 2

H^{s} (T^{d}) ↪ C (T^{d})

D_{j} : \hat{f} \mapsto i n_{j} \hat{f}

definierte Abbildung von

H^{s + 1} (T^{d})

H^{s} (T^{d})

ist stetig und es gilt für alle

f \in C^{\infty} (T^{d})

D_{j} f = \partial_{j} f

. 3. Zeigen Sie, daß für alle

s > d / 2 + n

n \in N

H^{s} (T^{d}) ↪ C^{n} (T^{d})

α \in (0, 1)

s > \frac{1}{2} + α

H^{s} (T) ↪ {L i p}_{α} (T)

t \neq 0

θ \in T

\begin{array}{rcl} | L_{t} f (θ) - f (θ) | & = & | \sum_{n} (\hat{f} (n) e^{- i n t} - \hat{f} (n)) e^{i n θ} | \\ \leq & \sum_{n} | \hat{f} (n) | | e^{- i n t} - 1 | (1 + n^{2})^{1 / 2 + α} (1 + n^{2})^{- 1 / 2 - α} \\ \leq & {‖ f ‖}_{H^{s}} (\sum_{n} | e^{- i n t} - 1 |^{2} (1 + n^{2})^{- 1 - 2 α})^{1 / 2} . \end{array}

| n t | \leq π / 2

| e^{- i n t} - 1 | \leq \sqrt{2} | n t |

\begin{array}{rcl} \sum_{| n | \leq π / 2 | t |} | e^{- i n t} - 1 |^{2} (1 + n^{2})^{- 1 - 2 α} & \leq & 2 \sum_{| n | \leq π / 2 | t |} | n t |^{2} (1 + n^{2})^{- 1 - 2 α} \\ \leq & 2 t^{2} \sum_{| n | \leq π / 2 | t |} (1 + n^{2})^{- 2 α} \leq C_{1} (α) | t |^{1 + 4 α} \end{array}

\sum_{| n | > π / 2 | t |} | e^{- i n t} - 1 |^{2} (1 + n^{2})^{- 1 - 2 α} \leq 2 \sum_{| n | > π / 2 | t |} (1 + n^{2})^{- 1 - 2 α} \leq C_{2} (α) | t |^{- 2 α},

| t | < 1

| L_{t} f (θ) - f (θ) | \leq C (α) {‖ f ‖}_{H^{s}} | t |^{- α}

α \in (0, 1)

s > d / 2 + α

H^{s} (T^{d}) ↪ {L i p}_{α} (T^{d})

‖ S_{n} : C^{p} (T) \to C^{p} (T) ‖ = {‖ D_{n} ‖}_{1}

C^{p} (T)

gibt es daher keine Normkonvergenz.

(S_{n} (f))^{'} = D_{n} * f^{'} = S_{n} (f^{'})

und nach Definition der Norm auf

C^{p} (T)

‖ S_{n} : C^{p} (T) \to C^{p} (T) ‖ = ‖ S_{n} : C (T) \to C (T) ‖ = {‖ D_{n} ‖}_{1}

K (s, t)

ein Summationskern,

K (s, - t) = K (s, t)

t \mapsto K (s, .)

stetig differenzierbar und auf

R^{+}

monoton fallend. Ferner sei

ζ \in C^{1} (T)

Q_{s} f (θ) = \frac{1}{2 π} \int K (s, θ - t) f (t) d t, X f (θ) = ζ (θ) f^{'} (θ)

[Q_{s}, X] f : = Q_{s} X f - X Q_{s} f

. Dann gilt für alle

f \in C^{\infty} (T)

{‖ [Q_{s}, X] f ‖}_{p} \leq 2 {‖ ζ^{'} ‖}_{\infty} {‖ f ‖}_{p} und {‖ [Q_{s}, X] f ‖}_{\infty} \leq {‖ ζ^{'} ‖}_{\infty} {‖ f^{'} ‖}_{1} \int K_{s} (t) | t | d t .

[Q_{s}, X] : L_{p} (T) \to L_{p} (T)

ist daher wohldefiniert und es gilt:

\forall 1 \leq p < \infty \forall f \in L_{p} (T) : lim_{s ↓ 0} {‖ [Q_{s}, X] f ‖}_{p} = 0 .

K (s, - t) = K (s, t)

Q_{s}^{*} = Q_{s}

⟨ f ⟩ : = (2 π)^{- 1} \int f (t) d t

\begin{array}{rcl} ⟨ X Q_{s} f - Q_{s} X f, g ⟩ & = & ⟨ g X Q_{s} f ⟩ - ⟨ Q_{s} g X f ⟩ \\ = & ⟨ g X Q_{s} f ⟩ - ⟨ X (Q_{s} g f) - f X Q_{s} g ⟩ \\ = & ⟨ g X Q_{s} f + f X Q_{s} g ⟩ - ⟨ d i v (X) f Q_{s} g ⟩ \end{array}

K_{s}^{'} (- t) = - K_{s}^{'} (t)

\begin{array}{rcl} ⟨ g X Q_{s} f + f X Q_{s} g ⟩ & = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int g (θ) ζ (θ) K_{s}^{'} (θ - t) f (t) + f (θ) ζ (θ) K_{s}^{'} (θ - t) g (t) d t d θ \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int g (θ) ζ (θ) K_{s}^{'} (θ - t) f (t) + f (t) ζ (t) K_{s}^{'} (t - θ) g (θ) d t d θ \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int g (θ) (ζ (θ) K_{s}^{'} (θ - t) - ζ (t) K_{s}^{'} (θ - t)) f (t) d t d θ \\ = & \frac{1}{4 π^{2}} \int \int g (θ) (ζ (θ) - ζ (t)) K_{s}^{'} (θ - t) f (t) d t d θ \end{array}

Somit erhalten wir mit

L : = {‖ ζ^{'} ‖}_{\infty}

\begin{array}{rcl} | ⟨ X Q_{s} f - Q_{s} X f, g ⟩ | & \leq & \frac{L}{4 π^{2}} \int \int | g (θ) | | θ - t | K_{s}^{'} (θ - t) | | f (t) | d t d θ \\ \leq & \frac{L}{2 π} {‖ f ‖}_{p} {‖ g ‖}_{q} \int | t | | K^{'} (t) | d t . \end{array}

\int | t | | K_{s}^{'} (t) | d t = 2 \int_{0}^{π} - t K_{s}^{'} (t) d t = 2 \int_{0}^{π} K_{s} (t) d t = 2 π

\begin{array}{rcl} | X Q_{s} f (θ) - Q_{s} X f (θ) | & = & \frac{1}{2 π} | \int - ζ (θ) K_{s}^{'} (t - θ) f (t) - K_{s} (θ - t) ζ (t) f^{'} (t) d t | \\ = & \frac{1}{2 π} | \int ζ (θ) K_{s} (t - θ) f^{'} (t) - K_{s} (θ - t) ζ (t) f^{'} (t) d t | \\ = & \frac{1}{2 π} | \int K_{s} (θ - t) f^{'} (t) (ζ (θ) - ζ (t)) d t | \\ \leq & \frac{L}{2 π} \int K_{s} (θ - t) | θ - t | | f^{'} (t) | d t \leq L {‖ f^{'} ‖}_{1} \int K_{s} (t) | t | d t \end{array}

(a, b) \subseteq (- π, π)

f = I_{(a, b)}

H f (θ) = \frac{1}{π} \log | \frac{\sin ((θ - a) / 2)}{\sin ((θ - b) / 2} | .

t \mapsto 2 \log | \sin (t / 2) |

ist eine Stammfunktion von

\cot (t / 2)

θ \notin {a, b}

t \mapsto (f (θ + t) - f (θ)) / t

integrierbar, dann

| f (θ - t) - f (θ) | \neq 0

genau dann, wenn

t \in (a - θ, b - θ)

θ \notin (a, b)

t \in (a - θ, b - θ)^{c}

θ \in (a, b)

θ \in (a, b)

0 \in (a - θ, b - θ)

0

von der kompakten Menge

(a - θ, b - θ)^{c}

positiven Abstand. Analog gilt für

θ \notin [a, b]

0 \notin [a - θ, b - θ]

und damit besitzt

0

von der kompakten Menge

[a - θ, b - θ]

positiven Abstand.

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Last modified: Sun Feb 4 11:53:42 CET 2024