← Fourierreihen und trigonometrische Polynome → Fourierreihen in diversen Banachräumen

Homogene Räume

Faltung

Die linearen Operatoren $S_m$, $\s_m$, $P_r$, $Q_r$ und $H_m$ besitzen alle dieselbe Form.
$f,g\in L_1(\TT)$. Unter der Faltung $f*g$ versteht man die Funktion $$ f*g(\theta)\colon=\frac1{2\pi}\int f(\theta-t)g(t)\,dt~. $$
Wir werden in Kürze sehen (cf. Satz), daß dadurch tatsächlich eine Funktion in $L_1(\TT)$ definiert ist. Allgemeiner definiert man die Faltung zweier Maße $\mu,\nu\in M(\TT)$ durch \begin{equation}\label{falteq1}\tag{FHB1} \forall f\in C(\TT):\qquad \int f\,d\mu*\nu\colon=\iint f(\theta+t)\,\mu(d\theta)\,\nu(dt) \end{equation} Falls $\mu\ll\l$ und $\nu\ll\l$ mit $f=d\mu/d\l$ und $g=d\nu/d\l$, so ist $2\pi f*g$ die Dichte des Maßes $\mu*\nu$ bezüglich $\l$. Ist $F:\TT\times\TT\rar\TT$ die Abbildung $(\theta,t)\mapsto\theta+t$, so ist $\mu*\nu$ das Bildmaß von $\mu\otimes\nu$ unter $F$. Ferner gilt für $A\in\B$ wegen $F^{-1}(A)_t=\{\theta\in\TT:\theta+t\in A\}=A-t$ nach dem Satz von Fubini: $$ (\mu\otimes\nu)_F(A) =\mu\otimes\nu(F^{-1}(A))= \int\mu(F^{-1}(A)_t)\,\nu(dt)= \int\mu(A-t)\,\nu(dt)~. $$
Für $\mu\in M(\TT)$ gilt: $\mu*\d_0=\mu$.
Für alle $f,g\in L_1(\TT)$ und alle $\theta,\t\in\TT$ gilt: $f*g=g*f$, $(f*g)*h=f*(g*h)$, $f*(g+h)=f*g+f*h$, $L_\theta(f*g)=(L_\theta f)*g=f*(L_\theta g)$ und $(L_\theta f*L_\s g)=L_{\theta+\s}(f*g)$.
Für $1\leq p < \infty$, $\theta\in\TT$ ist die Abbildung $\theta\mapsto L_\theta f$ von $\TT$ in $L_p(\TT)$ stetig.
$\proof$ Ist $f\in C(\TT)$, so ist $\theta\mapsto L_\theta f$ von $\TT$ in $C(\TT)$ stetig. Sei nun $f\in L_p(\TT)$ und $g\in C(\TT)$ mit $\norm{f-g}_p < \e$, dann folgt mit $\t=\theta-t$: \begin{eqnarray*} \norm{L_\theta f-L_tf}_p &=&\norm{L_\t f-f}_p \leq\norm{L_\t f-L_\t g}_p+\norm{L_\t g-g}_p+\norm{f-g}_p\\ &\leq&2\norm{f-g}_p+\norm{L_\t g-g}_p~. \end{eqnarray*} $\eofproof$
Die Faltung zweier funktionen besitzt folgende Eigenschaften:
  1. Sei $1\leq p\leq\infty$, $f\in L_p(\TT)$, $g\in L_1(\TT)$. Dann gilt $$ \norm{f*g}_p\leq\norm f_p\norm g_1~. $$
  2. Sei $1\leq p\leq\infty$, $f\in L_p(\TT)$, $g\in L_q(\TT)$, $1/p+1/q=1$. Dann ist $f*g$ stetig und beschränkt.
  3. Ist $f\in C^\infty(\TT)$ und $g\in L_1(\TT)$, so ist $f*g\in C^\infty(\TT)$.
  4. Für alle $f,g\in L_1(\TT)$ gilt: $\wh{f*g}=\wh f\wh g$.
$\proof$ 1. Seien $f,g,h\in L_\infty(\TT)$, dann erhalten wir nach Fubini und der Hölder Ungleichung: \begin{eqnarray*} \frac1{2\pi}\int f*g(\theta)h(\theta)\,d\theta &\leq&\frac1{4\pi^2}\iint|f(\theta-t)g(t)h(\theta)|\,dt\,d\theta\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint|f(\theta-t)g(t)h(\theta)|\,d\theta\,dt\\ &\leq&\frac1{2\pi}\int\norm f_p\norm h_q|g(t)|\,dt =\norm f_p\norm h_q\norm g_1 \end{eqnarray*} und die erste Behauptung folgt aus der Dichtheit von $L_\infty(\TT)$ in $L_r(\TT)$ für alle $1\leq r<\infty$.
2. Sei o.B.d.A. $p < \infty$; mit $h=f*g$ und $\theta,t\in\TT$ folgt nach Definition: \begin{eqnarray*} |h(\theta_1)-h(\theta_2)| &\leq&\frac1{2\pi}\int|f(\theta_1-t)-f(\theta_2-u)||g(t)|\,dt\\ &=&\frac1{2\pi}\int|L_{-\theta_1}f(-t)-L_{-\theta_2}f(-t)||g(t)|\,dt \leq\norm{L_{-\theta_1}f-L_{-\theta_2}f}_p\norm g_q~. \end{eqnarray*} Die zweite Behauptung folgt nun aus Lemma.
4. Nach Fubini gilt: $$ \wh{f*g}(n) =\frac1{(2\pi)^2}\int\int f(\theta-t)g(t)\,dt e^{-in\theta}\,d\theta =\frac1{(2\pi)^2}\int\int f(\theta-t)e^{-in(\theta-t)}g(t)e^{-int}\,d\theta\,dt =\wh f(n)\wh g(n)~. $$ $\eofproof$

Die Banachalgebra $L_1(\TT)$

$L_1(\TT)$ ist mit der Faltung eine sogenannte kommutative Banachalgebra, d.h. $L_1(\TT)$ ist ein Banachraum und die Faltung ist eine bilineare und assoziative Verknüpfung auf $L_1(\TT)$, so daß für alle $f,g\in L_1(\TT)$: $f*g=g*f$ und $\norm{f*g}_1\leq\norm f_1\norm g_1$. Allgemein definiert man für eine kommutative Banachalgebra $A$ den Raum ihrer Charaktere durch $$ S_A\colon=\{\vp\in A^*\sm\{0\}:\,\forall x,y\in A:\ \vp(xy)=\vp(x)\vp(y)\}~. $$ Im Falle der Banachalgebra $A=L_1(\TT)$ ist $\vp\in S_{L_1(\TT)}$ genau dann, wenn ein Gruppencharakter $\chi:\TT\rar S^1$ existiert, so daß für alle $f\in L_1(\TT)$: $$ \vp(f)=(2\pi)^{-1}\int_\TT f(\theta)\bar\chi(\theta)\,d\theta~, $$ d.h. die Charaktere der Gruppe $\TT$ sind i.W. dieselben wie die Charaktere der kommutativen Banachalgebra $L_1(\TT)$.
Auf der kommutativen Banachalgebra $L_1(\TT)$ gibt es auch eine sogenannte Involution: für $f\in L_1(\TT)$ sei $f^*(\theta)\colon=\cl{f(-\theta)}$. Dann gilt: \begin{equation}\label{falteq2a}\tag{FHB2} f^{**}=f,\quad \norm{f^*}=\norm f \quad\mbox{und}\quad (f*g)^*=g^**f^*~. \end{equation} Sei $A$ Banachalgebra mit einer Involution $x\mapsto x^*$; falls darüber hinaus für alle $x\in A$: $\norm{xx^*}=\Vert x\Vert^2$, dann nennt man $A$ eine $C^*$-Algebra. Die typischen Beispiele für Banachalgebren bzw. $C^*$-Algebren sind der Raum $B(X)$ der beschränkten linearen Operatoren eines Banachraumes $X$ in sich (mit der Operatornorm und der Komposition als Multiplikation) bzw. der Raum $B(H)$ für einen Hilbertraum $H$ (die Involution ist die Abbildung, die jedem Operator $A\in B(H)$ seinen adjungierten zuordnet). Ferner sind $c_0(\Z)$, $C(X)$ und $L_\infty(\mu)$ mit der punktweisen Multiplikation kommutative $C^*$-Algebra: die Involution ist in jedem dieser Fälle die Konjugation $f\mapsto\bar f$.
Sei $f\in L_1(\TT)$, dann ist $K:g\rar f*g$ eine lineare Abbildung von $L_p(\TT)$ in sich mit der adjungierten $K^*(g)=\check f*g$ mit $\check f(x)=\bar f(-x)$.
Da für alle $f\in L_1(\TT)$: $\F(\check f)=\cl{\F(f)}$ und nach Satz: $\F(f*g)=\F(f)\F(g)$, ist die Fouriertransformation $$ \F:L_1(\TT)\rar c_0(\Z) $$ ein sogenannter $C^*$-Homomorphismus. Cf. $C^*$-Algebren bzw. kommutative Banachalgebren.

Young Ungleichung

Für $f\in L_p(\TT)$ sei $K:g\mapsto f*g$, dann gilt mit $1/p+1/q=1$ nach Satz: $$ \norm{K:L_1(\TT)\rar L_p(\TT)}\leq\norm f_p \quad\mbox{und}\quad \norm{K:L_q(\TT)\rar L_\infty(\TT)}\leq\norm f_p $$ Nach dem Interpolationssatz von Riesz-Thorin gilt daher die Young-Ungleichung $$ \forall 1/r=1/s-1/p+1:\quad\norm{K:L_r(\TT)\rar L_s(\TT)}\leq\norm f_p $$ d.h. für $f\in L_p(\TT)$ und $g\in L_r(\TT)$ gilt mit $1/s=1/r+1/p-1$: \begin{equation}\label{falteq2}\tag{FHB3} \norm{f*g}_s\leq\norm g_r\norm f_p~. \end{equation}

Integration in Banachräumen

Integrierbare Funktionen

Sei $X$ ein separabler Banachraum, $I=(a,b]$ ein Intervall und $f:I\rar X$ eine einfache Funktion, d.h. es existieren meßbare paarweise disjunkte Teilmengen $A_j$ von $I$ und $x_j\in X$, so daß $f=\sum x_jI_{A_j}$, dann definieren wir: $$ \int_a^b f(t)\,dt\colon=\int f\,d\l\colon=\sum_j x_j\l(A_j)~. $$ Nach der Dreiecksungleichung gilt: $\tnorm{\int f\,d\l}\leq\int\norm{f(t)}\,dt$. Sei nun $f:I\rar X$ meßbar (d.h. für alle $x^*\in X^*$ ist die Funktion $t\mapsto\la f(t),x^*\ra$ meßbar) und $\int_a^b\norm{f(t)}\,dt<\infty$ - eine solche Funktion heißt integrierbar, dann existiert eine Folge einfacher Funktionen $f_n$, so daß $$ \norm{f_n(t)}\leq2\norm{f(t)} \quad\mbox{und}\quad \lim_n\int_a^b\norm{f(t)-f_n(t)}\,dt=0; $$ eine derartige Folge $f_n$ nennt man eine $f$ determinierende Folge. Man bestätigt, daß $\int f_n\,d\l$ eine Cauchy Folge ist und definiert: $\int f\,d\l\colon=\lim_n\int f_n\,d\l$. Ferner gilt: $\tnorm{\int f\,d\l}\leq\int\norm f\,d\l$ und $$ \forall x^*\in X^*:\quad x^*\Big(\int f(t)\,dt\Big) =\int x^*(f(t))\,dt~. $$ Ist $f:I\rar X$ stetig, $c\in I^\circ$ und $F(t)\colon=\int_c^t f(s)\,ds$, so gilt der Hauptsatz: für alle $t\in I^\circ$: $F^\prime(t)=f(t)$.
Seien $f:[a,b]\rar X$, $\vp:[a,b]\rar\C$ $C^1$-Funktionen auf dem kompakten Intervall $[a,b]$, dann gilt die Formel für partielle Integration: $$ \int_a^b\vp^\prime(t)f(t)\,dt =\vp(b)f(b)-\vp(a)f(a)-\int\vp(t)f^\prime(t)\,dt $$
Z.B. ist die Abbildung $f:[0,1]\rar C[0,1]$, $f(t)(x)\colon=x^t$, integrierbar und es gilt: $$ \Big(\int_0^1f(t)\,dt\Big)(x) =\int_0^1f(t)(x)\,dt =\frac{x-1}{\log x}~. $$ Dieselbe Methode funktioniert i.W. auch für integrierbare Funktionen $f:I\rar L_1(\O,\mu)$: Falls $(t,\o)\mapsto f(t)(\o)$ meßbar ist, dann stimmt die Funktion $\int f(t)\,dt$ f.ü mit $$ \o\mapsto \int_I\int f(t)(\o)\,dt\,\mu(d\o) \quad\mbox{überein.} $$
Falls $f:I\rar X$ stetig ist und $I=[a,b]$ kompakt, dann ist $f$ integrierbar und $$ \int_a^b f(t)\,dt =\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{2^n}\sum_{j=0}^{2^n-1} f(t_j), $$ wobei $t_j$ irgendeinen Punkt im Intervall $[a+(b-a)j2^{-n},a+(b-a)(j+1)2^{-n}]$ bezeichnet. Für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen stimmt daher das Integral mit dem Riemann Integral überein.

Homogene Banachräume

Im Folgenden sei $X$ stets ein Unterraum von $L_1(\TT)$ und $\Vert.\Vert_X$ eine Norm auf $X$, so daß folgende Bedingungen erfüllt sind:
  1. $(X,\Vert.\Vert_X)$ ist ein separabler Banachraum.
  2. Die kanonische Injektion $X\hrar L_1(\TT)$ ist stetig, d.h. es gibt eine Konstante $c_X$, so daß $$ \forall f\in X:\quad \norm f_1\leq c_X\norm f_X $$
  3. Für alle $\theta\in\TT$ ist $L_\theta:X\rar X$ eine Isometrie.
  4. Für alle $f\in X$ ist $\theta\mapsto L_\theta f$ eine stetige Abbildung von $\TT$ in $(X,\Vert.\Vert_X)$.
Eine Raum $(X,\Vert.\Vert_X)$ mit diesen Eigenschaften nennt man einen homogenen Banachraum auf $\TT$. Z.B. sind $L_p(\TT)$ für $1\leq p<\infty$ (nach Lemma) und $C(\TT)$ bzw. $C^p(\TT)$ für $p\in\N$ mit der Norm $$ \norm f_{C^p}\colon=\sum_{k=0}^p\tnorm{f^{(k)}}_\infty $$ homogene Banachräume. Weitere Beispiele für homogene Banachräume sind die sogenannten Sobolevräume: Sei $s\geq0$ und $$ H^s(\TT)\colon=\Big\{f\in L_2(\TT):\,\norm f_{H^s}<\infty\Big\} \quad\mbox{mit}\quad \norm f_{H^s}^2\colon=\sum|\wh f(n)|^2(1+n^2)^s~. $$ Dann ist $(H^s(\TT),\Vert.\Vert_{H^s})$ ein homogener Hilbertraum (cf. Übungen) - der Sobolevraum der Ordnung $s$ - mit dem inneren Produkt $$ \la f,g\ra_{H^s}\colon=\sum_{n\in\Z} \wh f(n)\cl{\wh g(n)}\,(1+n^2)^s $$ $L_\infty(\TT)$ erfüllt zwar (II) und (III) aber keine der anderen Bedingungen.
Sei $K\in L_1(\TT)$ und $f\in L_1(\TT)$, dann gilt in $L_1(\TT)$: $$ \frac1{2\pi}\int K(t)L_tf\,dt=K*f~. $$
$\proof$ Zunächst ist $t\mapsto K(t)L_tf$ von $\TT$ in $L_1(\TT)$ meßbar und $$ \frac1{2\pi}\int\norm{K(t)L_tf}_1\,dt =\iint|K(t)||f(\theta-t)|\,d\theta\,dt \leq\norm K_1\norm f_1; $$ also ist $t\mapsto K(t)L_tf$ eine integrierbare Abbildung in $L_1(\TT)$. Jedes stetige lineare Funktional auf $L_1(\TT)$ ist von der Form $$ f\mapsto\la f,g\ra\colon=(2\pi)^{-1}\int_{\TT} f(\theta)g(\theta)\,d\theta $$ mit $g\in L_\infty(\TT)$, also \begin{eqnarray*} \la\frac1{2\pi}\int K(t)L_tf\,dt,g\ra &=&\frac1{2\pi}\int K(t)\la L_tf,g\ra\,dt\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint K(t)f(\theta-t)g(\theta)\,d\theta\,dt\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint K(t)f(\theta-t)g(\theta)\,dt\,d\theta =\la K*f,g\ra~. \end{eqnarray*} $\eofproof$
Ist $X$ ein homogener Banachraum, dann liegt für $K\in L_1(\TT)$ und $f\in X$ die Funktion $K*f$ in $X$ und es gilt: $\norm{K*f}_X\leq\norm K_1\norm f_X$.
$\proof$ Da $\norm{K(t)L_tf}_X=|K(t)|\norm f_X$ ist $t\mapsto K(t)L_tf$ eine integrierbare Abbildung von $\TT$ in $X$, also folgt nach Lemma: $K*f\in X$; ferner ist $$ \norm{K*f}_X\leq\frac1{2\pi}\int\norm{K(t)L_tf}_X\,dt \leq\frac1{2\pi}\int|K(t)|\norm f_X\,dt =\norm K_1\norm f_X~. $$ $\eofproof$

Summationskerne

Sei $S$ eine meßbare Teilmenge von $\R^+$, die zumindest eine nicht triviale Nullfolge enthält und $K:S\times\TT\rar\R$; wir betrachten nun folgende Bedingungen an $K$:
  1. Für alle $s\in S$: $$ \frac1{2\pi}\int_{\TT} K(s,t)\,dt=1~. $$
  2. Es existiert eine Konstante $C > 0$, so das für alle $s\in S$: $$ \frac1{2\pi}\int_{\TT} |K(s,t)|\,dt\leq C~. $$
  3. Für alle $\d > 0$ gilt: $$ \lim_{s\dar0}\int_{|t| > \d}K(s,t)\,dt=0~. $$
  4. Es gibt eine monoton fallend und integrierbare Funktion $\b:\R_0^+\rar\R_0^+$, so daß $|K(s,t)|\leq\b(|t|/s)/s$.
(iv) impliziert (ii) und (iii): z.B.: $$ \int|K(s,t)|\,dt\leq2\int_0^{\pi}\b(t/s)/s\,dt\leq2\int_0^{\infty}\b(t)\,dt $$ und analog: $\int_{|t| > \d}K(s,t)\,dt\leq2\int_0^{\d}\b(t)\,dt$.
Erfüllt $K$ die Bedingungen (i),(ii) und (iii), so nennt man $K$ einen Summationskern; ist darüber hinaus $K$ nicht negativ, so heißt $K$ ein positiver Summationskern. Diese besitzen die Eigenschaft, daß sie nicht negative Funktionen auf nicht negative Funktionen abbilden. Der Fejer- sowie der Poisson-Kern sind die für uns wichtigsten Beispiele von positiven Summationskernen - für den Fejer-Kern ist etwas künstlich $S=\{1/n:n\in\N\}$ und für den Poisson-Kern ist genauso künstlich $S=\{1-r:r\in(0,1]\}$.
Sowohl der Poisson-Kern als auch der Fejer-Kern erfüllt (iv) mit $\b(t)=c(1+t^2)^{-1}$ und einer geeigneten Konstante $c$.
Weitere Beispiele für positive Summationskerne $K$ sind: \begin{equation}\label{sumeq1}\tag{SUK1} s\in\R^+,x\in\R:\quad \frac{e^{-x^2/4s}}{\sqrt{4s\pi}},\ \frac1se^{-x/s}I_{(0,\infty)}(x),\ \frac s\pi\Big(\frac{\sin x/s}x\Big)^2,\ \frac s\pi\frac1{s^2+x^2}~. \end{equation} Für $s\in S$ sei nun $Q_s$ der Integraloperator: \begin{equation}\label{sumeq2}\tag{SUK2} Q_sf(\theta)\colon=\frac1{2\pi}\int_\TT K(s,\theta-t)f(t)\,dt =K_s*f(\theta), \qquad Q_0f\colon=f~. \end{equation}
Ist $X$ ein homogener Banachraum und $K$ ein Summationskern, dann ist die durch \eqref{sumeq2} definierte Abbildung $S\rar X$, $s\mapsto Q_sf$ für alle $f\in X$ in $0$ stetig, also: $$ \forall f\in X\quad \lim_{s\dar0}\norm{Q_sf-f}_X=0 $$
$\proof$ Zunächst folgt nach Proposition und (ii): $\norm{Q_s:X\rar X}\leq\Vert K_s\Vert_1$. Weiters erhalten wir für $f\in X$ und $\d > 0$: \begin{eqnarray*} \norm{Q_sf-f}_X &=&\frac1{2\pi}\Big\Vert\int K_s(t)L_tf-\int K_s(t)f\,dt\Big\Vert_X\\ &\leq&\frac1{2\pi}\int|K_s(t)|\norm{L_tf-f}_X\,dt\\ &=&\frac1{2\pi}\int_{|t| < \d}|K_s(t)|\norm{L_tf-f}_X\,dt +\frac1{2\pi}\int_{|t| > \d}|K_s(t)|\norm{L_tf-f}_X\,dt~. \end{eqnarray*} Sei zu $\e > 0$ die Zahl $\d > 0$ so bestimmt, daß - nach (iii) bzw. (iv): $$ \forall s\leq\d:\quad \frac1{2\pi}\int_{|t| > \d}|K_s(t)|\,dt < \e \quad\mbox{und}\quad \forall t\leq\d:\quad \frac1{2\pi}\norm{L_tf-f}_X < \e~. $$ Dann folgt für alle $s\leq\d$ nach (ii) wegen $\norm{L_tf-f}_X\leq2\norm f_X$: $$ \norm{Q_sf-f}_X\leq C\e+2\e\norm f_X~. $$ $\eofproof$
Insbesondere gilt für alle $1\leq p < \infty$: \begin{equation}\label{sumeq3}\tag{SUK3} \forall f\in L_p(\TT):\ \lim_{s\dar0}\norm{Q_sf-f}_p=0 \quad\mbox{und}\quad \forall f\in C(\TT):\ \lim_{s\dar0}\norm{Q_sf-f}_\infty=0 \end{equation} sowie für alle $s\geq0$: $$ \forall f\in H^s(\TT):\ \lim_{s\dar0}\norm{Q_sf-f}_{H^s}=0~. $$
Seien $K_m$ bzw. $P_r$ der Fejer- bzw. der Poisson-Kern.
  1. Für $f\in C(\TT)$ konvergierten $P(r,.)*f$ mit $r\uar1$ bzw. $K_m*f$ mit $m\to\infty$ gleichmäßig gegen $f$.
  2. Ist $f\in L_p(\TT)$, $1\leq p<\infty$, so konvergieren $P(r,.)*f$ mit $r\uar1$ bzw. $K_m*f$ in $L_p(\TT)$ mit $m\to\infty$ gegen $f$.
  3. Für $f\in H^s(\TT)$ konvergierten $P(r,.)*f$ mit $r\uar1$ bzw. $K_m*f$ mit $m\to\infty$ in $H^s(\TT)$ gegen $f$.
Die durch $D:\wh f\mapsto in\wh f$ definierte Abbildung von $H^{s+1}(\TT)$ in $H^s(\TT)$ ist stetig und es gilt für alle $f\in C^\infty(\TT)$: $Df=f^\prime$. 2. Zeigen Sie, daß für alle $s > 1/2$: $H^s(\TT)\sbe C(\TT)$.

Stetige Halbgruppen

Die durch $f\mapsto L_tf$ definierte Abbildung (z.B. von $L_1(\TT)$ in sich) ist einer der einfachsten Beispiele einer sogenannten stetigen (einparametrigen) Gruppe oder Halbgruppe. Ist $f$ z.B. glatt, so ist $t\mapsto L_tf$ auch differenzierbar mit $$ \ttdl t0L_tf(\theta)=-f^\prime(\theta), $$ man nennt $f\mapsto-f^\prime$ den Generator der Gruppe $L_t$. Cf. Theorie stetiger Halbgruppen.
Da $P(r,.)*P(s,.)=P(rs,.)$ ist $P_tf\colon=P(e^{-t},.)*f$ eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf $L_p(\TT)$ - die Poisson-Halbgruppe auf dem Torus.
Seien $t\geq0$, $p\geq1$ und $q\leq1+(p-1)e^{2t}$, dann gilt: $$ \norm{P_t:L_p(\TT)\rar L_q(\TT)}\leq1~. $$ Man nennt diese Eigenschaft die Hyperkontraktivität der Halbgruppe $P_t$; sie ist äquivalent zur logarithmischen Sobolev Ungleichung $$ \int f^2\log f^2\,d\mu -\int f^2\,d\mu\log\Big(\int f^2\,d\mu\Big) \leq2\int\norm{\nabla f}^2\,d\mu~. $$ wobei $\mu$ das normalisierte Haarmaß $\l/2\pi$ auf $\TT$ bezeichnet.
Durch $\wh{\D f}(n)\colon=\wh f(n)n^2$ ist ein positiver, selbstadjungierter Operator auf $L_2(\TT)$ definiert mit dem Definitionsbereich $\dom(\D)=H^2(\TT)$; für alle $f\in C^\infty(\TT)$ gilt: $\D f=-f^\dprime$.
  1. Die Funktionen $e_n$, $n\in\Z$, bilden ein vollständiges System von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten $n^2$ und die durch $$ \forall s\geq0:\quad P_sf\colon=e^{-s\D}f\colon=\sum_{n\in\Z}e^{-n^2s}\wh f(n)e_n $$ definierte Familie von Operatoren $P_s$ heißt die Wärmeleitungs-Halbgruppe auf $\TT$. Zeigen Sie: $P_{s+r}f=P_sP_rf$ und $P_sf=K_s*f$, wobei $K_s(\theta)\colon=\sum_{n\in\Z}e^{-n^2s+in\theta}$.
  2. Es gilt: $\norm{P_s:L_2(\TT)\rar L_2(\TT)}\leq1$ und \begin{eqnarray*} \forall f\in L_2(\TT)&:& \lim_{s\to0}\norm{P_sf-f}_2=0 \quad\mbox{und}\\ \forall f\in H^2(\TT)&:& \lim_{s\to0}\norm{\tfrac1s(P_sf-f)+\D f}_2=0 \end{eqnarray*} d.h. $P_s$ ist eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf $L_2(\TT)$ mit dem Generator $-\D$.
  3. Für alle $t > 0$ und alle $f\in L_2(\TT)$ liegt $P_sf$ in $C^\infty(\TT)$.
1. $\D$ ist auf $H^2(\TT)$ symmetrisch und positiv, denn für $f,g\in H^2(\TT)$ gilt: $$ \la\D f,g\ra-\la f,\D g\ra =\la\F\D f,\F g\ra-\la\F f,\F\D g\ra\\ =\sum_{n\in\Z}n^2(\wh f(n)\cl{\wh g(n)}-\wh f(n)\cl{\wh g(n)})=0 $$ und $$ \la\D f,f\ra =\sum_{n\in\Z}n^2|\wh f(n)|^2\geq0~. $$ Sei $g\in L_2(\TT)$, dann besitzt die Gleichung $f+\D f=g$ die Lösung $\wh f(n)=\wh g(n)(1+n^2)^{-1}$, i.e. $f\in H^2(\TT)$ und somit ist $\im(1+\D)=L_2(\TT)$, i.e. $\D$ ist selbstadjungiert mit $\dom(\D)=H^2(\TT)$.

Dirichlet-Kerne und die Hilbert Transformation

Der Dirichlet-Kern ist typischerweise kein Summationskern (er besitzt zwar die Eigenschaft (i) aber, wie wir noch sehen werden (cf. Proposition), keine der anderen. Für alle $f\in{\cal A}$ und alle $1\leq p\leq\infty$ gilt aber offensichtlich $\lim_n\norm{S_n(f)-f}_p=0$. Der entscheidende Punkt im Weiteren ist die Dichtheit der Algebra ${\cal A}$ der trigonometrischen Polynome in den homogenen Banachräumen $L_p(\TT)$, $1\leq p<\infty$, bzw. $C(\TT)$.
Sei nun $K:S\times\TT\rar\R$ eine Kernfunktion und $Q_s$, $s\in S$, die durch \eqref{sumeq2} definierten Integraloperatoren, wobei wir an die Kernfunktion $K$ keine der Bedingungen (i), (ii) oder (iii) stellen!
Sei $X$ ein homogenener Banachraum, so daß für alle $s$ $Q_s:X\rar X$ beschränkt ist. Sei $E$ ein dichter Unterraum von $X$ mit der Eigenschaft, daß für alle $f\in E$ gilt: $\lim_{s\to0}\norm{Q_sf-f}_X=0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
  1. $\limsup_{s\to0}\norm{Q_s:X\rar X} < \infty$.
  2. $\forall f\in X:\ \lim_{s\to0}\norm{Q_sf-f}_X=0$.
$\proof$ Falls für alle $f\in X$ gilt: $\lim_{s\to0}\norm{Q_sf-f}_X=0$, dann folgt nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit: $$ \limsup_{s\to0}\norm{Q_s:X\rar X} < \infty. $$ Sei umgekehrt $\limsup_{s\to0}\norm{Q_s:X\rar X}\leq C$ und $f\in X$, dann gibt es nach Voraussetzung zu jedem $\e>0$ ein $g\in E$ mit $\norm{f-g}\leq\e$ und folglich: $$ \limsup_{s\to0}\norm{Q_sf-f} \leq\limsup_{s\to0}\norm{Q_sf-Q_sg}+\norm{Q_sg-g}+\norm{Q_sg-g} \leq(C+1)\e $$ $\eofproof$
Wir wollen abschließend zeigen, daß die gleichmäßige Beschränktheit der Operatoren $S_n:X\rar X$ gleichbedeutend mit der Stetigkeit der Hilbert-Transformation ist: Zunächst folgt für $f\in{\cal A}$ und $m\in\Z$ wegen $\wh{e_mf}(k)=\wh f(k-m)$: $$ H(e_mf) =-i\sum_{k\in\Z}\sign(k)\wh{e_mf}(k)e_k =-i\sum_{k\in\Z}\sign(k)\wh{f}(k-m)e_k $$ also erhalten wir für $m\in\N$: \begin{eqnarray*} H(e_mf)e_{-m} &=&-i\sum_{k\in\Z}\sign(k+m)\wh{f}(k)e_k\quad\mbox{und analog}\\ H(e_{-m}f)e_{m} &=&-i\sum_{k\in\Z}\sign(k-m)\wh{f}(k)e_k~. \end{eqnarray*} Damit folgt nun: \begin{equation}\label{sumeq4}\tag{SUK4} H(e_mf)e_{-m}-H(e_{-m}f)e_m= -i(e_m\wh f(m)+e_{-m}\wh f(-m))-2iS_{m-1}(f)~. \end{equation} Analog zeigt man die 'inverse Beziehung': \begin{equation}\label{sumeq5}\tag{SUK5} S_m(fe_{-m})e_m-S_m(fe_m)e_{-m} =\sum_{k=-2m}^{2m}\sign(k)\wh f(k)e_k =HS_{2m}f~. \end{equation}
Sei $X$ ein homogener Banachraum, der ${\cal A}$ als dichten Unterraum enthält und in dem für alle $n\in\Z$ und alle $f\in X$ gilt: $\norm{e_nf}_X=\norm f_X$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
  1. $\sup_m\norm{S_m:X\rar X} < \infty$.
  2. Für alle $f\in X$ gilt: $\lim_n\norm{S_mf-f}_X=0$.
  3. $\norm{H:X\rar X} < \infty$.
$\proof$ 1. und 2. sind nach Satz äquivalent. 3.$\Rar$2.: Nach \eqref{sumeq4} gilt mit $C\colon=\norm{H:X\rar X}$: $$ 2\norm{S_{m-1}f}_X \leq 2C\norm f_X+2\sup_n|\wh f(n)| \leq 2C\norm f_X+2\norm f_1 \leq2(C+c_X)\norm f_X~. $$ 2.$\Rar$3.: Nach \eqref{sumeq5} gilt für alle $f\in{\cal A}$: $$ \norm{Hf}_X\leq2\sup_m\norm{S_m:X\rar X}\norm f_X~. $$ $\eofproof$

Übungen und ergänzende Resultate

Für $f\in L_1(\TT)$ ist die durch $T:g\mapsto f*g$ definierte Abbildung von $L_1(\TT)$ in $L_1(\TT)$ stetig und linear mit der Norm $\norm f_1$.
Da $\norm{f*g}_1\leq\norm f_1\norm g_1$, folgt: $\norm T\leq\norm f_1$. Andererseits gilt für $K_n$: $\norm{K_n}=1$ und $\norm{f*K_n-f}_1\to0$, also $\norm T\geq\norm f_1$.
Seien $k_n:\R\rar\R_0^+$, $n\in\N$, glatte Funktionen mit folgenden Eigenschaften: $\int k_n=1$ und $k_n(t)=0$ falls $|t|>1/n$. Dann ist $(k_n)$ ein Summationskern und falls $X$ ein homogener Banachraum auf $\R$ ist, dann liegen die glatten Funktionen mit kompaktem Träger dicht in $X$. Finden Sie solche $k_n$.
$H^s(\TT)$ ist ein homogener Hilbertraum und für $f\in C^\infty(\TT)$ gilt: $\norm f_{H^1}^2=\norm f_2^2+\norm{f^\prime}_2^2$.
Da $\wh{L_tf}(n)=e^{-int}\wh f(n)$, folgt: $|\wh{L_tf}(n)|=|\wh f(n)|$, also: $\norm{L_tf}_{H^s}=\norm f_{H^s}$ und $$ \norm{L_tf-f}_{H^s}^2 =\sum_{n\in\Z}|1-e^{-int}|^2|\wh f(n)|^2(1+n^2)^s $$ Zu $\e>0$ wählen wir $N\in\N$, so daß $\sum_{|n|>N}|\wh f(n)|^2(1+n^2)^s<\e^2$. Dann wählen wir $t$ so nahe bei $0$, daß für alle $|n|\leq N$: $|1-e^{-int}| < \e/\norm f_{H^s}$. Es folgt: $\norm{L_tf-f}_{H^s}^2 < 2\e^2$.
$H^s(\TT^d)$ ist definiert als die Menge aller Funktionen $f\in L_2(\TT^d)$, so daß $$ \norm f_{H^s}^2\colon=\sum_{n\in\Z^d}|\wh f(n)|^2(1+\norm n^2)^s~. $$ $H^s(\TT)$ ist ein homogener Hilbertraum und für $f\in C^\infty(\TT^d)$ gilt: $\norm f_{H^1}^2=\norm f_2^2+\sum_j\norm{\pa_jf}_2^2$.
Sei $K\in L_1(\TT)$ und $E$ der von $\{L_\theta K:\theta\in\TT\}$ erzeugte Unterraum von $L_1(\TT)$. $E$ ist genau dann dicht in $L_1(\TT)$, wenn für alle $n\in\Z$: $\wh K(n)\neq0$.
Für alle $f\in L_1(\TT)$ ist $A:f\mapsto K*f$ ein beschränkter Operator in $L_1(\TT)$ mit $\cl\im A=\cl E$. $E$ ist also genau dann nicht dicht, wenn $\im A$ nicht dicht ist und dies ist genau dann der Fall, wenn $A^*$ nicht injektiv ist, i.e. wenn es ein $g\in L_\infty(\TT)$ gibt mit $g\neq0$ und $\check K*g=0$, also genau dann, wenn $\wh{\check K}\wh g=0$ und $\wh g\neq0$. Da $\wh{\check K}=\cl{\wh K}$, folgt die Behauptung.
Sei $K\in L_1(\TT^d)$ und $E$ der von $\{L_\theta K:\theta\in\TT^d\}$ erzeugte Unterraum von $L_1(\TT^d)$. $E$ ist genau dann dicht in $L_1(\TT^d)$, wenn für alle $n\in\Z^d$: $\wh K(n)\neq0$.
Seien $1\leq p < \infty$ und $g\in L_p(\TT)$, $f\in L_q(\TT)$ mit $1/p+1/q=1$. Dann gilt das Fejer Lemma: $$ \lim_{|n|\to\infty}\frac1{2\pi}\int_{\TT}f(t)g(nt)\,dt =\wh f(0)\wh g(0) $$
1. Sei $p < \infty$: Die trigonometrischen Polynome liegen dicht in $L_p(\TT)$. Ist $g$ ein trigonometrisches Polynom, so gilt die Aussage nach dem Riemann-Lebesgue Lemma. Zu jedem $g\in L_p(\TT)$ und $\e > 0$ gibt es ein trigonometrisches Polynom $T$ mit $\norm{g-T}_p < \e$, also: \begin{eqnarray*} \Big|\frac1{2\pi}\int f(t)g(nt)\,dt-\wh f(0)\wh g(0)\Big| &\leq&\Big|\frac1{2\pi}\int f(t)T(nt)\,dt-\wh f(0)\wh T(0)\Big|\\ &&+\Big|\frac1{2\pi}\int f(t)(T(nt)-g(nt))\,dt\Big|+|\wh f(0)||\wh T(0)-\wh g(0)| \end{eqnarray*} und der zweite Summand ist nach der Hölder Ungleichung beschränkt durch $\norm f_q\norm{T-g}_p < \norm f_p\e$.
2. Für $p=\infty$ und $q=1$ wählen wir z.B. $T\in L_2(\TT)$, so daß $\norm{f-T}_1 < \e$ \begin{eqnarray*} \Big|\frac1{2\pi}\int f(t)g(nt)\,dt-\wh f(0)\wh g(0)\Big| &\leq&\Big|\frac1{2\pi}\int(f(t)-T(t))g(nt)\,dt\Big|\\ &&+\Big|\frac1{2\pi}\int T(t)g(nt)\,dt-\wh T(0)\wh g(0)\Big| +|\wh T(0)-\wh f(0)||\wh g(0)|~. \end{eqnarray*} Da $g\in L_\infty(\TT)\sbe L_2(\TT)$ folgt die Behauptung aus dem ersten Fall für $p=q=2$!
Zeigen Sie das Fejer Lemma für $g\in L_p(\TT)$ und $f\in L_q(\TT,X)$, $1/p+1/q=1$.
Bestimmen Sie alle $K\in L_1(\TT)$, so daß $K*K=K$. Erfüllt $K$ diese Beziehung, so ist der lineare Operator $P(f)\colon=K*f$ eine Projektion auf einen, d.h. $P^2=P$.
Seien $f,g\in C(\TT)$, dann gilt: $[f*g\neq0]\sbe[f\neq0]+[g\neq0]$.
Sei $X\sbe L_1(\TT)$ ein homogener Banachraum. Dann ist $X\cap C^\infty(\TT)$ dicht in $X$.
Sei $P$ ein trigonometrisches Polynom des Grades $n$. Dann gilt: $$ P^\prime(t)=-P*G_n(t) \quad\mbox{wobei}\quad G_n(t)\colon=2n K_{n-1}(t)\sin(nt) $$ wobei $K_n$ die Fejer-Kerne bezeichnen. Folgern Sie die Bernstein Ungleichung: $$ \norm{P^\prime}_\infty\leq2n\norm P_\infty~. $$
Sei $e_k(t)=e^{ikt}$, dann gilt $e_k^\prime=ike_k$, also $\wh{e_k^\prime}(j)=0$ falls $j\neq k$ und $\wh{e_k^\prime}(k)=ik$. Es genügt daher zu zeigen, daß $\wh G_n(k)=-ik$. Nach einer Formel für den Fejer-Kern gilt: \begin{eqnarray*} -2n K_{n-1}(t)\sin(nt) &=&in\sum_{j=-n+1}^{n-1} \Big(1-\frac{|j|}n\Big)(e^{i(n+j)t}-e^{-i(n-j)t})\\ &=&in\sum_{j=-n+1}^{n-1}\Big(1-\frac{|j|}n\Big)e^{i(n+j)t} -in\sum_{j=-n+1}^{n-1}\Big(1-\frac{|j|}n\Big)e^{-i(n-j)t}\\ &=&in\sum_{k=1}^{2n-1}\Big(1-\frac{|k-n|}n\Big)e^{ikt} -in\sum_{k=1}^{2n-1}\Big(1-\frac{|k-n|}n\Big)e^{-ikt}\\ &=&-i\sum_{|k|\leq n}ke^{ikt}+\sum_{2n>|k|>n}\ldots \end{eqnarray*}
Der Dirichlet- bzw. Fejer- bzw. Poisson-Kern auf $\TT^d$ ist definiert durch: $\forall t=(t_1,\ldots,t_d)\in\TT^d$: $$ D_m^d(t)\colon=\prod_{j=1}^d D_m(t_j),\ K_m^d(t)\colon=\prod_{j=1}^d K_m(t_j),\ P^d(r,t)\colon=\prod_{j=1}^d P(r,t_j), $$ wobei $m\in\N_0$ und $r\in(0,1)$. Die entsprechenden Operatoren sind: $S_m(f)\colon=D_m^d*f$, $\s_m(f)\colon=K_m^d*f$, $P_r(f)\colon=P(r,.)^d*f$, wobei für $f,g\in L_1(\TT^d)$: $$ \forall\theta\in\TT^d:\qquad f*g(\theta)=\frac1{(2\pi)^d}\int_{\TT^d}f(\theta-t)g(t)\,dt~. $$
Der Raum $\lip_\a(\TT)$ mit der Norm $$ \norm f_{\lip_\a}\colon=\sup_t|f(t)|+\sup\Big\{\frac{|f(t+h)-f(t)|}{|h|^\a}: t,h\in\TT,h\neq0\Big\} $$ erfüllt (I) und (II) nicht aber (III).
Die Funktion $f(t)\colon=|\sin(t)|^\a$ liegt in $\lip_\a(\TT)$ und es gilt: $$ \frac{|(L_\theta f-f)(t-h)-(L_\theta f-f)(t)|}{|h|^\a} =\frac{|f(t-h-\theta)-f(t-h)-f(t-\theta)+f(t)|}{|h|^\a} $$ Setzen wir $h=-\theta$ und $t=0$, so folgt: $\norm{L_hf-f}_{\lip_\a}\geq2|\sin(h)/h|^\a$.
Für alle $0 < \a < \b\leq1$ sind die kanonischen Injektionen $\lip_\b(\TT^d)\hrar\lip_\a(\TT^d)\hrar C(\TT^d)$ kompakt.
Nach dem Satz von Arzela-Ascoli ist $\lip_\b(\TT^d)\hrar C(\TT^d)$ kompakt. Sei $\norm{f_n}_{\lip_\b}\leq1$, so daß $f_n$ in $C(\TT^d)$ gegen $f$ konvergiert. Da weiters für alle $g\in\lip_\b(\TT^d)$: \begin{eqnarray*} \frac{|g(x)-g(y)|}{d(x,y)^\a} &=&\frac{|g(x)-g(y)|}{d(x,y)^\b}d(x,y)^{\b-\a}\\ &\leq&2\min\{d(x,y)^{\b-\a}\norm g_{\lip_\b}, \norm g_\infty d(x,y)^{-\a}\}; \end{eqnarray*} folgt für alle $\e>0$: $$ \norm{f_n-f}_{\lip_\a} \leq\norm{f_n-f}_\infty +2\e^{-\a}\norm{f_n-f}_\infty +2\e^{\b-\a} $$ Wählen wir nun $n_\e\in\N$, so daß für alle $n\geq n_\e$: $\norm{f_n-f}_\infty<\e$, dann folgt: $$ \norm{f_n-f}_\a\leq\e+2\e^{1-\a}+2\e^{\b-\a}~. $$
Sei $X\sbe L_1(\TT)$ ein Banachraum, der (I), (II) und (III) erfüllt (vgl. Def. des homogenen Raumes). Sei $X_c$ die Menge aller $f\in X$, für die $t\mapsto L_tf$ eine stetige $X$-wertige Abbildung ist. Dann ist $X_c$ ein abgeschlossener Unterraum von $X$.
Sei $f_n$ eine Folge in $X_c$, die in $X$ gegen $f$ konvergiere. Zu $\e > 0$ gelte für alle $n\geq n_\e$: $\norm{f_n-f}_X < \e$. Wegen (II) gilt dann: \begin{eqnarray*} \norm{L_tf-f}_X &\leq&\norm{L_tf-L_tf_n}_X+\norm{L_tf_n-f_n}_X+\norm{f_n-f}_X\\ &=&2\norm{f-f_n}_X+\norm{L_tf_n-f_n}_X < 2\e+\norm{L_tf_n-f_n}_X \end{eqnarray*} und folglich: $\limsup_{t\to0}\norm{L_tf-f}_X\leq2\e$.
Sei $X\sbe L_1(\TT)$ ein Banachraum, der (I), (II) und (III) erfüllt. Dann ist $X_c$ der Abschluß der in $X$ enthaltenen trigonometrischen Polynome.
$X_c$ ist nach Beispiel ?? ein abgeschlossener Teilraum von $X$. Falls $e_m(t)\colon=e^{imt}$ in $X$ liegt, dann folgt: $$ \lim_{t\to0}\norm{L_te_m-e_m}_X =\lim_{t\to0}|e^{-imt}-1|\norm{e_m}_X =0~. $$ Daher gilt $e_m\in X_c$ und damit liegt der $X$-Abschluß der trigonometrischen Polynome in $X_c$. Ist umgekehrt $f\in X_c$, so liegt das trigonometrische Polynom $K_n*f$ in $X_c$ und konvergiert mit $n\to\infty$ in $X$ gegen $f$.
Für $X=L_\infty(\TT)$ gilt: $X_c=C(\TT)$.
Für $X=\lip_1(\TT)$ gilt: $X_c=C^1(\TT)$.
$X_c$ ist der $\lip_1$-Abschluß der trigonometrischen Polynome, d.h. $X_c=C^1(\TT)$.
Für $0 < \a < 1$ und $X=\lip_\a(\TT)$ gilt: $$ X_c=\Big\{f\in C(\TT):\lim_{h\to0}\sup_t\frac{|f(t+h)-f(t)|}{|h|^\a}=0\Big\} =\colon{\rm lip}_\a(\TT) $$
${\rm lip}_\a(\TT)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $\lip_\a(\TT)$ und enthält alle trigonometrischen Polynome, also: $X_c\sbe{\rm lip}_\a(\TT)$. Ist umgekehrt $f\in{\rm lip}_\a(\TT)$, so ist $t\mapsto L_tf$ eine stetige Abbildung in $\lip_\a(\TT)$, d.h. ${\rm lip}_\a(\TT)\sbe X_c$.
Sei $\a\in(0,1)$ und $b>1$. Dann liegt die durch $$ f(t)\colon=\sum_{n=1}^\infty b^{-n\a}\cos(b^nt) $$ definierte Weierstraß Funktion in $\lip_\a(\TT)$ aber nicht in ${\rm lip}_\a(\TT)$.
Wegen $\cos\a-\cos\b=2\sin\frac12(\a+\b)\sin\frac12(\b-\a)$ folgt: \begin{eqnarray*} f(t+h)-f(t) &=&-2\sum_{n\geq1}2b^{-n\a}\sin(b^n(t+h/2))\sin(b^nh/2)\\ &=&-\sum_{n\leq N}-\sum_{n>N} =-P-Q \end{eqnarray*} wobei $N\colon=\inf\{n: b^nh\leq1\}$, also $b^N\leq1/h$ und $b^{N+1}>1/h$. \begin{eqnarray*} |P|&\leq&2\sum_{n=1}^Nb^{-n\a}b^nh/2 \leq\sum_{n=1}^Nb^{-n\a}b^nh\\ &=&hb^{N(1-\a)}\sum_{n=0}^{N-1}b^{-(1-\a)n} \leq hb^{N(1-\a)}K \leq Kh(1/h)^{1-\a} =Kh^\a\\ |Q|&\leq&2\sum_{n=N+1}^\infty b^{-n\a} =2b^{-\a(N+1)}\sum_{n=0}^\infty b^{-n\a} \leq K^\prime b^{-(N+1)\a} \leq K^\prime h^\a \end{eqnarray*} Es gilt ferner \begin{eqnarray*} |f(h)-f(0)| &\geq&2\sum_{n=1}^Nb^{-n\a}\sin^2(b^nh/2)\\ &\geq&\tfrac12h^2\sum_{n=1}^Nb^{(2-\a)n} \geq\tfrac12h^2(1/hb)^{(2-\a)} =\tfrac12h^\a b^{\a-2} \end{eqnarray*}
Durch $\wh{\D f}(n)\colon=\wh f(n)\norm n^2$ ist ein positiver, selbstadjungierter Operator auf $L_2(\TT^d)$ definiert mit $\dom(\D)=H^2(\TT^d)$; für alle $f\in C^\infty(\TT)$ gilt: $\D f=-\sum_j\pa_j^2$. 2. Die Funktionen $e_n$, $n\in\Z^d$, bilden ein vollständiges System von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten $\norm n^2$ und die durch $$ \forall s\geq0:\quad P_sf\colon=e^{-s\D}f\colon=\sum_{n\in\Z^d}e^{-\norm n^2s}\wh f(n)e_n $$ definierte Familie von Operatoren $P_s$ heißt die Wärmeleitungshalbgruppe auf $\TT^d$. Zeigen Sie: $P_{s+r}f=P_sP_rf$ und $P_sf=K_s^d*f$, wobei $K_s^d(\theta_1,\ldots\theta_d)\colon=\prod_j K_s(\theta_j)$. 3. Es gilt: $\norm{P_s:L_2(\TT^d)\rar L_2(\TT^d)}\leq1$ und \begin{eqnarray*} \forall f\in L_2(\TT^d)&:&\lim_{s\to0}\norm{P_sf-f}_2=0 \quad\mbox{und}\\ \forall f\in H^2(\TT^d)&:&\lim_{s\to0}\norm{\tfrac1s(P_sf-f)+\D f}_2=0 \end{eqnarray*} d.h. $P_s$ ist eine stetige Kontraktionshalbgruppe auf $L_2(\TT^d)$ mit dem Generator $-\D$.
Sei $f,g\in H^2(\TT^d)$. Dann ist $$ u(t)=\sum_{n\in\Z^d}\wh f(n)\cos(\norm n t)e_n +\wh g(n)\sin(\norm n t)e_n $$ eine Lösung der Wellengleichung $u^\dprime(t)=-\D u(t)$ mit $u(0)=f$ und $u^\prime(0)=g$.
Sei $u(t)=\sum\wh u(t,n)e_n$, dann ist $$ \D u+\pa_t^2u=\sum(\norm n^2\wh u(t,n)+\pa_t^2\wh u(t,n))e_n $$ also gilt für alle $n\in\Z^d$: $n^2\wh u(t,n)+\pa_t^2\wh u(t,n)=0$, i.e. $\wh u(t,n)=a(n)\cos(\norm n t)+b(n)\sin(\norm n t)$ mit $a(n)=\wh u(0,n)$ und $b(n)=\pa_t\wh u(0,n)$.
Die durch $D:\wh f\mapsto in\wh f$ definierte Abbildung von $H^{s+1}(\TT)$ in $H^s(\TT)$ ist stetig und es gilt für alle $f\in C^\infty(\TT)$: $Df=f^\prime$. 2. Zeigen Sie, daß für alle $s>1/2+n$: $H^s(\TT)\hrar C^n(\TT)$.
1. Für alle $s > d/2$ gilt: $H^s(\TT^d)\hrar C(\TT^d)$. 2. Die durch $D_j:\wh f\mapsto in_j\wh f$ definierte Abbildung von $H^{s+1}(\TT^d)$ in $H^s(\TT^d)$ ist stetig und es gilt für alle $f\in C^\infty(\TT^d)$: $D_jf=\pa_jf$. 3. Zeigen Sie, daß für alle $s>d/2+n$ und alle $n\in\N$: $H^s(\TT^d)\hrar C^n(\TT^d)$.
Für $\a\in(0,1)$ und $s > \frac12+\a$ gilt: $H^s(\TT)\hrar\lip_\a(\TT)$.
Für alle $t\neq0$ und alle $\theta\in\TT$ ist \begin{eqnarray*} |L_tf(\theta)-f(\theta)| &=&\Big|\sum_n(\wh f(n)e^{-int}-\wh f(n))e^{in\theta}\Big|\\ &\leq&\sum_n|\wh f(n)||e^{-int}-1|(1+n^2)^{1/2+\a}(1+n^2)^{-1/2-\a}\\ &\leq&\norm f_{H^s}\Big(\sum_n|e^{-int}-1|^2(1+n^2)^{-1-2\a}\Big)^{1/2}~. \end{eqnarray*} Für $|nt|\leq\pi/2$ gilt: $|e^{-int}-1|\leq\sqrt2|nt|$, also: \begin{eqnarray*} \sum_{|n|\leq\pi/2|t|}|e^{-int}-1|^2(1+n^2)^{-1-2\a} &\leq&2\sum_{|n|\leq\pi/2|t|}|nt|^2(1+n^2)^{-1-2\a}\\ &\leq&2t^2\sum_{|n|\leq\pi/2|t|}(1+n^2)^{-2\a} \leq C_1(\a)|t|^{1+4\a} \end{eqnarray*} und da $$ \sum_{|n|>\pi/2|t|}|e^{-int}-1|^2(1+n^2)^{-1-2\a} \leq2\sum_{|n|>\pi/2|t|}(1+n^2)^{-1-2\a} \leq C_2(\a)|t|^{-2\a}, $$ folgt für $|t|<1$: $|L_tf(\theta)-f(\theta)|\leq C(\a)\norm f_{H^s}|t|^{-\a}$.
Für $\a\in(0,1)$ und $s>d/2+\a$ gilt: $H^s(\TT^d)\hrar\lip_\a(\TT^d)$.
Es gilt $\norm{S_n:C^p(\TT)\rar C^p(\TT)}=\norm{D_n}_1$. In $C^p(\TT)$ gibt es daher keine Normkonvergenz.
Es gilt $(S_n(f))^\prime=D_n*f^\prime=S_n(f^\prime)$ und nach Definition der Norm auf $C^p(\TT)$ folgt daher $$ \norm{S_n:C^p(\TT)\rar C^p(\TT)} =\norm{S_n:C(\TT)\rar C(\TT)} =\norm{D_n}_1 $$
Sei $K(s,t)$ ein Summationskern, $K(s,-t)=K(s,t)$ und $t\mapsto K(s,.)$ stetig differenzierbar und auf $\R^+$ monoton fallend. Ferner sei $\z\in C^1(\TT)$, $$ Q_sf(\theta)=\frac1{2\pi}\int K(s,\theta-t)f(t)\,dt,\quad Xf(\theta)=\z(\theta)f^\prime(\theta) $$ und $[Q_s,X]f\colon=Q_sXf-XQ_sf$. Dann gilt für alle $f\in C^\infty(\TT)$: $$ \norm{[Q_s,X]f}_p \leq2\norm{\z^\prime}_\infty\norm f_p \quad\mbox{und}\quad \norm{[Q_s,X]f}_\infty \leq\norm{\z^\prime}_\infty\norm{f^\prime}_1\int K_s(t)|t|\,dt~. $$ Der Kommutator $[Q_s,X]:L_p(\TT)\rar L_p(\TT)$ ist daher wohldefiniert und es gilt: $$ \forall 1\leq p<\infty\ \forall f\in L_p(\TT):\qquad \lim_{s\dar0}\norm{[Q_s,X]f}_p=0~. $$
Da $K(s,-t)=K(s,t)$ folgt $Q_s^*=Q_s$ und mit $\la f\ra\colon=(2\pi)^{-1}\int f(t)\,dt$: \begin{eqnarray*} \la XQ_sf-Q_sXf,g\ra &=&\la gXQ_sf\ra-\la Q_sgXf\ra\\ &=&\la gXQ_sf\ra-\la X(Q_sgf)-fXQ_sg\ra\\ &=&\la gXQ_sf+fXQ_sg\ra-\la\divergence(X)fQ_sg\ra \end{eqnarray*} Nun ist wegen $K_s^\prime(-t)=-K_s^\prime(t)$: \begin{eqnarray*} \la gXQ_sf+fXQ_sg\ra &=&\frac1{4\pi^2}\iint g(\theta)\z(\theta)K_s^\prime(\theta-t)f(t) +f(\theta)\z(\theta)K_s^\prime(\theta-t)g(t)\,dt\,d\theta\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint g(\theta)\z(\theta)K_s^\prime(\theta-t)f(t) +f(t)\z(t)K_s^\prime(t-\theta)g(\theta)\,dt\,d\theta\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint g(\theta)(\z(\theta)K_s^\prime(\theta-t) -\z(t)K_s^\prime(\theta-t))f(t)\,dt\,d\theta\\ &=&\frac1{4\pi^2}\iint g(\theta)(\z(\theta) -\z(t))K_s^\prime(\theta-t)f(t)\,dt\,d\theta \end{eqnarray*} Somit erhalten wir mit $L\colon=\norm{\z^\prime}_\infty$: \begin{eqnarray*} |\la XQ_sf-Q_sXf,g\ra| &\leq&\frac L{4\pi^2}\iint|g(\theta)| |\theta-t|K_s^\prime(\theta-t)||f(t)|\,dt\,d\theta\\ &\leq&\frac L{2\pi}\norm f_p\norm g_q\int|t||K^\prime(t)|\,dt~. \end{eqnarray*} Nun ist $$ \int|t||K_s^\prime(t)|\,dt =2\int_0^\pi-tK_s^\prime(t)\,dt =2\int_0^\pi K_s(t)\,dt=2\pi $$ Weiters gilt: \begin{eqnarray*} |XQ_sf(\theta)-Q_sXf(\theta)| &=&\frac1{2\pi}\Big|\int-\z(\theta)K_s^\prime(t-\theta)f(t) -K_s(\theta-t)\z(t)f^\prime(t)\,dt\Big|\\ &=&\frac1{2\pi}\Big|\int\z(\theta)K_s(t-\theta)f^\prime(t) -K_s(\theta-t)\z(t)f^\prime(t)\,dt\Big|\\ &=&\frac1{2\pi}\Big|\int K_s(\theta-t)f^\prime(t) (\z(\theta)-\z(t))\,dt\Big|\\ &\leq&\frac L{2\pi}\int K_s(\theta-t)|\theta-t||f^\prime(t)|\,dt \leq L\norm{f^\prime}_1\int K_s(t)|t|\,dt \end{eqnarray*}
Sei $(a,b)\sbe(-\pi,\pi)$ und $f=I_{(a,b)}$, dann ist $$ Hf(\theta)=\frac1{\pi}\log\left| \frac{\sin((\theta-a)/2)}{\sin((\theta-b)/2}\right|~. $$
$t\mapsto2\log|\sin(t/2)|$ ist eine Stammfunktion von $\cot(t/2)$ und für $\theta\notin\{a,b\}$ ist $t\mapsto(f(\theta+t)-f(\theta))/t$ integrierbar, dann $|f(\theta-t)-f(\theta)|\neq0$ genau dann, wenn $t\in(a-\theta,b-\theta)$ und $\theta\notin(a,b)$ oder $t\in(a-\theta,b-\theta)^c$ und $\theta\in(a,b)$. Für $\theta\in(a,b)$ gilt aber $0\in(a-\theta,b-\theta)$, also besitzt $0$ von der kompakten Menge $(a-\theta,b-\theta)^c$ positiven Abstand. Analog gilt für $\theta\notin[a,b]$: $0\notin[a-\theta,b-\theta]$ und damit besitzt $0$ von der kompakten Menge $[a-\theta,b-\theta]$ positiven Abstand.
← Fourierreihen und trigonometrische Polynome → Fourierreihen in diversen Banachräumen
<Home>
Last modified: Sun Feb 4 11:53:42 CET 2024